Estoy trabajando en la simulación de esta ecuación (aplicación de control del motor, pero no importa):
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}+b\frac{d\theta}{dt}=a \sin (x-\theta)$$
where $x = vt$ for $t > 0$, and I'm finding that for given initial conditions $\frac{d\theta}{dt}|_{t=0}$ and $\theta|_{t=0}$, there seems to be a critical value $v_{crit}$ such that:
- if $v < v_{crit}$, $x\theta$ oscillates but settles down to its equilibrium value $\phi = \sin^{-1} \frac{vb}{a}$ ("captura")
- si $v > v_{crit}$, $x-\theta$ tiende a un linealmente creciente diferencia + una pequeña oscilación plazo.
Predecir el valor de $v_{crit}$ es importante en mi aplicación, y me gustaría entender lo que está pasando.
Mi formación en ecuaciones diferenciales no lineales es bastante limitado y oxidado, y nunca tomé clases avanzadas... creo que puede ser cierto conocimiento mediante técnicas de energía (Hamiltonianos? Estabilidad de Lyapunov?) ya que existe una similitud a una impulsada por el péndulo de la ecuación ($\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin \theta = u(t)$), pero no puedo averiguar qué.
¿Cómo puedo averiguar este valor crítico?
Puede alguien me apunte hacia algunos de los materiales de referencia (o, incluso, el derecho de los términos a buscar) para que yo pudiera aprender una técnica para resolver mi problema?
Parece como si me puede mostrar que $|x-\theta|$ cambia de dirección antes de que llegue a $\pi$, luego de la captura está garantizada.
bueno, la división en 1er orden de los sistemas:
$\begin{eqnarray} \dot{\omega} &=& -a \sin(\theta - x) - b\omega \cr \dot{\theta} &=& \omega \end{eqnarray}$
Change of variable $u = \theta - x$ so $\dot{u} = \omega - v$ and $\ddot{u} = \ddot{\theta} = \dot{\omega}$:
$\begin{eqnarray} \dot{\omega} &=& -a \sin u - b\omega \cr \dot{u} &=& \omega - v \end{eqnarray}$
If I try to write a Lyapunov equation $E = c\omega^2 + d \cos u$ I get
$$\begin{eqnarray} \dot{E} &=& 2c\dot{\omega}\omega - d \dot{u} \sin u \cr &=&2c\omega(-a\sin u - b\omega) - d (\omega - v) \sin u \cr &=&\omega \sin u (-2ac - d) -2bc\omega^2 + dv \sin u \end{eqnarray} $$
I can make the first term go away if I choose d=-2ac; the second term is negative if $c>0$ but I can't get rid of the third term.
Attempt #2: $E = (\omega-v)^2 - 2a \cos u$ I get
$$\begin{eqnarray} \dot{E} &=& 2\dot{\omega}(\omega-v) +2a \dot{u} \sin u \cr &=&2(\omega-v)(-a\sin u - b\omega) +2a (\omega - v) \sin u \cr &=&(\omega-v) \sin u (-2a + 2a) -2b\omega(\omega-v) \cr &=& -2b\omega(\omega-v) \cr &=& -2b\left(\left(\omega-\frac{v}{2}\right)^2 - \frac{v^2}{4}\right) \cr \end{eqnarray} $$
but that's not necessarily negative. Urk.
Some numerical sample points: I'm using a = 2.3086177e5, b = 1.78179103 (max v with equilibrium at $a/b \aprox 129567$, but $v_{crit}$ tends to be much smaller in practice), and in my simulations I'm seeing:
$\omega|_{t=0} = 0, \theta|_{t=0} = 0 : v_{crit} \approx 958.929$
$\omega|_{t=0} = 0, \theta|_{t=0} = 0.5 : v_{crit} \approx 929.408$
$\omega|_{t=0} = 0, \theta|_{t=0} = 1.0 : v_{crit} \approx 842.336$
$\omega|_{t=0} = 0, \theta|_{t=0} = \pi/2 : v_{crit} \approx 680.156$
Para el último caso, esto es una fase de la trama (es un muy underdamped sistema para la gira de la trazada de la curva se acercan; la cúspide de la izquierda es donde las cosas se detienen por un momento):
y un unicc parcela:
