¿Qué las representaciones complejas continuadas finito-dimensionales del grupo aditivo $\mathbb{Q}$ con la mirada de la topología usual como? ¿Con la topología discreta? ¿Que las representaciones son indescomponible? ¿Irreducible?
Los únicos que puedo pensar son de la forma $t \mapsto e^{tA}$ $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Estaría dispuesto a creer que son los únicos que en el primer caso, pero estoy menos seguro de que en el segundo caso.
Una manera de pensar de $\mathbb Q$ es el límite a más de enteros positivos $n$$\frac{1}{n} \mathbb Z$. Dando así un carácter de $\mathbb Q$ es el mismo como dar un elemento en la proyectiva límite de los grupos de personajes de $\frac{1}{n}\mathbb Z$. En particular, si nos restringimos a unitaria de los personajes, nos encontramos con que $\mathbb Q^{\vee}$ es el límite proyectivo de círculo grupos $S^1$ bajo $n$th el mapa de poder. Este objeto es (creo) se llama un solenoide; número de teóricos es mejor conocida como adele grupo de clase $\mathbb A/\mathbb Q$. (Aquí y en todo estoy usando la topología discreta; si uno considera la inducida por la topología de la $\mathbb R$, entonces, como Robin explica, uno sólo se pone los personajes de $\mathbb R$.)
La secuencia exacta $0 \to \hat{\mathbb Z} \to \mathbb Q^{\vee} \to S^1 \to 0$ en el que Pete respuesta surge desde el mapa de tomar el solenoide a la base de $S^1$; las fibras de este mapa son copias de $\hat{\mathbb Z}$.
Si queríamos no necesariamente unitaria de los personajes, que sería en lugar de obtener el proyectiva límite de copias de $\mathbb C^{\times}$ bajo $n$th el mapa de poder. Desde $\mathbb C^{\times} = \mathbb R_{> 0} \times S^1$, y desde $\mathbb R_{> 0}$ es únicamente divisible, este proyectiva límite es simplemente $\mathbb R_{> 0}$ veces el solenoide.
En un poco tangencial, permítanme señalar que la la relación con los adeles es importante (por ejemplo, es el primer paso en la Tate de la tesis):
Desde el adeles son (restringido) de productos de $\mathbb R$ y cada una de las $\mathbb Q_p$, y dado que estos son todos auto-dual, es fácil ver que $\mathbb A$ es auto-dual.
Tiene entonces la secuencia exacta $$0 \to \mathbb Q \to \mathbb A \to \mathbb A/\mathbb Q \to 0$$ lo que es nuevo auto-dual (la dualidad swaps $\mathbb Q$ y el solenoide $\mathbb A/\mathbb Q$).
Uno debe comparar esto con la secuencia exacta $$0 \to \mathbb Z \to \mathbb R \to \mathbb R/\mathbb Z = S^1 \to 0.$$ Esto es, nuevamente, la auto-dual ($\mathbb R$ es auto-dual, y la dualidad de los swaps de los enteros y el círculo).
Esto trae a la importancia de la intuición de que el adeles son a $\mathbb Q$ $\mathbb R$ $\mathbb Z$.
En la topología generalmente, cada representación continua de $(\mathbb{Q},{+})$ se extenderá a una representación continua de $(\mathbb{R},{+})$ tan sólo obtendrás de los obvios.
En la topología discreta hay representaciones no es evidente incluso en dimensión uno. Considerar el mapa $\alpha:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}_p\to\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$. Then $t\mapsto\exp(2\pi i\alpha(t))$ es un personaje de $\mathbb{Q}$, pero no de la forma $t\mapsto e^{at}$.
Tomando Pontrjagin duales de la breve secuencia exacta de los discretos abelian grupos
$0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \rightarrow 0$
da
$0 \rightarrow \hat{\mathbb{Z}} \rightarrow \mathbb{Q}^{\vee} \rightarrow S^1 \rightarrow 0$,
-- aquí $\hat{\mathbb{Z}}$ es el profinite finalización de $\mathbb{Z}$ -- por lo que este se clasifica a la unidimensional "unitaria" las continuas representaciones de $\mathbb{Q}$. Creo que la secuencia exacta superior está dividida; de todos los lugares, esto ocurrió en un partido de la cena que asistí la semana pasada. (Agregado: no, no es la división como una secuencia de topológicos, grupos o incluso como una secuencia de grupos: ver a Matt E comentario de abajo).
N. B.: Si le preguntas a un número teórico (interpretado ampliamente) lo que la "costumbre de la topología" en la $\mathbb{Q}$ es, ella va a decir que es la topología discreta. Esta es la topología que se hereda de la topología en la adele anillo de $A_{\mathbb{Q}}$.
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