Encontrar el valor de $|z|$

Question

Que $z$ es un número no real tal que
$$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2}$$
es puramente real. Encontrar el valor de $|z|$.

¡Hola a todos!
Para esta pregunta, cuando $\displaystyle{a}$ = $\dfrac{1+z+z^2}{1-z+z^2}$ y $a=\bar{a}$ pero tiene muy desordenado. ¿Existe un enfoque alternativo, elegante?
Gracias por tomarte tu tiempo para leer mi pregunta.

Answer 1

Da: $\dfrac{1+z+z^2}{1-z+z^2}\in\mathbb{R}$

$\implies 1+\dfrac{2z}{1-z+z^2}\in\mathbb{R}$

$\implies \dfrac{1-z+z^2}{z}\in\mathbb{R}$

$\implies z+\dfrac{1}{z}-1 \in\mathbb{R}$

$\implies z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}$

$\implies z+\dfrac{1}{z}=\bar{z}+{\dfrac{1}{\bar{z}}}$

$\implies z-\bar{z}=\dfrac{z-\bar{z}}{z\bar{z}}$

$\implies z\bar{z}=1$ [Desde $z\in\mathbb{C/R}$]

$\implies |z|^{2}=1$

$\implies |z|=\boxed{1}$

Answer 2

$$\begin{align} \frac{1+z+z^2}{1-z+z^2}\in\Bbb R&\iff1+\frac{2z}{z^2-z+1}\in\Bbb R\\ &\iff\frac z{z^2-z+1}\in\Bbb R\\ &\iff \frac{z^2-z+1}z\in\Bbb R\\ &\iff z+\frac1z\in\Bbb R \end {Alinee el}$$

Ahora, la ecuación de $z+\frac 1z=a$, $a\in \Bbb R$, cuenta con esta solución:

$$z=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}2$$

$|a|<2$ Esta solución no es real y $$|z|^2=\frac{a^2}4+\frac{4-a^2}4=\frac44=1

Pero para $|a|\ge 2$ $z$ abarca el conjunto de los números reales.

Answer 3

$z=a+bi$ obtenemos después de simplificar $${\frac {\left (-{b} ^ {2} 2\, iab + ib + {una} ^ {2} + a + 1 \right) \left (-2\, iab + {a} ^ {2}-{b} ^ {2} + ib-a + 1 \right)} {{un} ^ {4} + 2\, {un} ^ {2} {b} ^ {2} + {b} ^ \,{a}^{3}-2\,{b}^{2}a+3\,{a}^{2}-{b}^{2}-2\,a+1 2 {4}}}$$ así conseguimos $$2ab+b=0$$ or $%$ $-2ab+b=0$