Conceptos ligeramente debilitados / alteración de un campo

Question

He oído hablar de al menos tres ligeras modificaciones de la norma el concepto de campo:

prado, que (de acuerdo a este documento) es un anillo conmutativo con unidad equipada con un total de unario operación $x^{−1}$, nombre inversa, que satisfaga estas ecuaciones adicionales: $(x^{−1})^{−1} = x$ $x·(x·x^{−1}) = x$.

rueda - he oído hablar de estos en la conversación, así que estoy seguro de su definición exacta. Yo creo que tiene un unario "inversa" de la operación, tales como prados, pero supongo que algo es diferente acerca de ellos.

neofield, que (de acuerdo a este documento) parecen ser los campos, sin la asociatividad de la suma.

(No voy a contar $\mathbb{F}_1$, creo que no es relevante aquí - aunque puedo estar totalmente acerca de esta). Pero sólo teniendo estas definiciones, todavía me siento satisfecho con los conceptos. No me siento como yo entiendo lo que está pasando con ellos, no sé por qué ninguna de estas son de las cosas naturales a la vista, o lo importante teoremas no se tenía sobre ellos (quiero decir, que no sean los que en los periódicos que se hace referencia, que yo espero que entiendo después de conseguir una mejor toma de tierra).

Así, cualquiera puede...

1. proporcionar la mejor/más explicativas de las definiciones para estas estructuras, y también - como una categoría adecuada de la teoría en el estudiante sus morfismos (los papeles vinculados a la no estatal que, creo)

2. proporcionar ejemplos instructivos de cada estructura (es decir, ejemplos que no son también los campos, lo que demuestra las diferencias)

3. ofrecer lo que se considera "estándar" referencias para cualquiera de estas estructuras (un libro de estudio, o de papel, donde se definieron por primera vez, etc.)

4. explicar por qué se debe buscar en estas estructuras (quiero decir, más allá de la curiosidad acerca de ellos) - ¿de dónde surgen de forma natural, si en cualquier lugar?

5. explicar que los conceptos clásicos/teoremas acerca de los campos de llevar a cada estructura (tienen un concepto algebraico de los elementos? hay un Galois-como la teoría para ellos? etc.) y los que no

y si tienes más cosas que decir acerca de ellos - incluso mejor!

Answer 1

Un debilitamiento del campo axiomas de los que he escuchado varias veces es que de un campo cercano. Un campo cercano satisface los axiomas de un anillo de división, excepto que no tiene la distributividad de derecho de la multiplicación.

He aquí un divertido ejemplo: los cuaterniones a+bi+cj+dk con a,b,c,d números enteros. Mirar el elemento 1+i+j. Quotienting por la izquierda ideal generado por este elemento le da un 9 elemento aditivo grupo. Un breve cálculo muestra que los elementos $0, \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ dar una base para este grupo. Por lo tanto la no-cero de los elementos de este aditivo grupo tienen una estructura multiplicativa! Es fácil comprobar que esta es la izquierda distributiva, pero no el derecho de distribución.

Una razón por la que cerca de campos son útiles es que doblemente transitiva Frobenius grupos son precisamente semidirect productos de la forma $k^+ \rtimes k^\times$ k de un número finito de campo cercano.

Para los dos papeles donde cerca de campos de venir a ver a este viejo papel de la mina en las grandes representaciones de grupos finitos o un artículo que apareció hoy en cuánticos dobles de grupos finitos por Beigi, Shor, Whalen

Answer 2

Nearfields y semicampos y esas cosas aparecen cuando intenta coordinatize (o cualquiera que sea la palabra correcta es) planos proyectivos (en el sentido combinatorio).

Answer 3

La pradera (como se define en la pregunta, y en el papel vinculado) es una "teoría ecuacional".

Una pradera es un conjunto $A$ junto con las operaciones de $0,1,+,-,\cdot,{}^{-1}$ tal que $(A,0,1,+,-,\cdot)$ es un anillo conmutativo con unidad, y las identidades $$ (x^{-1})^{-1} = x \\ x\cdot(x\cdot x^{-1}) = x $$ mantenga pulsado para todos los $x \in A$.

Como con todas las teorías ecuacionales, esto nos dice cuáles son los morfismos, subalgebras, ideales, productos, cocientes, y así sucesivamente. Así que: si $A, B$ son prados, a continuación, un mapa de $f : A \to B$ es un homomorphismiff $$ f(0)=0\\ f(1)=1\\ f(x+y)=f(x)+f(y) \\ f(-x)=-f(x)\\ f(xy) = f(x)f(y) \\ f(x^{-1})=f(x)^{-1} $$ (Algunos de estos se siguen de los demás, pero de manera abstracta solo te diré que conserva todas las operaciones.)

Un submeadow de una pradera $A$ es un subconjunto $B \subseteq A$ tal que si $x,y \in B$, luego $$ 0, 1, x+y, -x, x\cdot y, x^{-1} \in B $$

Un ejemplo importante de una pradera es un campo, con la habitual parcial de operación $x^{-1}$ mejorado para un total de la operación mediante la definición de $0^{-1}=0$. Esto se llama un cero totalizado campo.

Ejemplos más interesantes son los productos de los campos. Por ejemplo,$\mathbb{Md}_6 = \mathbb F_2 \times \mathbb F_3$. Teorema: Cualquier pradera (hasta el isomorfismo) un submeadow de un producto de cero totalizado campos.

Como Robin Chapman se ha señalado (citado en el artículo mencionado): Tomar un prado y olvidarse de la operación inversa, y tiene una de von Neumann regular anillo; comience con un von Neumann regular anillo con unidad, no hay una única forma de definir la inversa de lo que es un prado.