Optimización en $L_1$, ¿tiene esto sentido?

Question

Me gustaría encontrar una distribución de probabilidad $f(x)$ en la unidad de intervalo de $[0,1]$ que obedece a un conjunto dado de momento limitaciones, por ejemplo, $\int_0^1 xf(x) dx = \mu_0$ para un determinado $\mu_0$, y así sucesivamente. Me gustaría que la distribución para que $\int_0^1 \sqrt{f_c(x)} dx$ donde $f_c$ es absolutamente continua de parte de $f$, es tan grande como sea posible. ¿Qué espacio vectorial debo considerar esto? Debe ser $L_1$?

Como un ejemplo, si yo sólo sé una restricción en el primer momento en $\int_0^1 xf(x) dx = \mu_0$, luego por la discretización $f$, iba a "adivinar" que el peor de los casos la distribución se lleva a la forma $f(x) = \frac{1}{4(\lambda_1+\lambda_2x)^2}$ adecuado $\lambda_i$'s. Es allí una manera de hacer que este argumento formal?

Answer 1

Si tienes todos los $\left(\mu_n\right)_{n=0}^\infty$, puede restringir la función generadora de momento y optimizar su $\int \sqrt{f_c(x)} dx$. Usted debe asegurarse de que la integral existe, que determinaría el espacio subyacente del vector...