¿Son distintos los coproductos de 1 en un topos?

Question

Inspirado por las dos soluciones a la pregunta de Harry

Puede un topos de una abelian categoría?

Me preguntaba si todos los co-productos de 1 en un topos son distintos hasta isomorfismo? Que es $1 + 1 + \dots + 1 \cong 1 + 1 + \dots + 1$ fib hay igual número de 1s en cada lado?

Edit: con el fin De hacer la pregunta (posiblemente) no trivial, vamos a suponer que los topos no es equivalente a la terminal de la categoría.

Answer 1

Al menos si estamos hablando de los finitos co-productos, entonces la respuesta es sí. Si $n\le m$, entonces tenemos una canónica de inclusión $\sum_{i=1}^n 1 \hookrightarrow \sum_{j=1}^m 1$, que en realidad es complementado subobjeto con complementan $\sum_{k=1}^{m-n} 1$. Si esta inclusión es un isomorfismo, entonces su complemento es la inicial, y por lo tanto (suponiendo que el topos es trivial) $n=m$. Ahora si tenemos una arbitraria isomorfismo $\sum_{i=1}^n 1 \cong \sum_{j=1}^m 1$, para luego componer con la por encima de su inclusión obtenemos un monic $\sum_{i=1}^m 1 \hookrightarrow \sum_{j=1}^m 1$. Sin embargo, se puede demostrar por inducción que cualquier finito subproducto de copias de $1$ en un topos es Dedekind-finito, es decir, cualquier monic desde ella a sí misma, es un isomorfismo. (Ver D5.2.9 en "Bocetos de un Elefante", vol 2.) Por lo tanto, el estándar de la inclusión también es un isomorfismo, así que de nuevo $n=m$.