¿Cómo se comporta el Teorema chino del resto con polinomios con múltiples variables?

Question

Me interesa porque quiero demostrar que a $x^2-34y^2\equiv -1\pmod{m}$ tiene soluciones para todos los enteros $m$. Empecé con el siguiente razonamiento:

Si $3\nmid m$,$gcd(m,3)=1$. Entonces existe un inverso multiplicativo $\bar{3}$ modulo $m$. Tomo nota de que $5^2-34=-(3^2)$, y por lo tanto $\bar{3}^2(5^2-34)\equiv (\bar{3}\cdot 5)^2-34(\bar{3}^2)\equiv -(\bar{3})^2(3^2) \equiv -1\pmod{4}$. Y por lo tanto $(\bar{3}\cdot 5, \bar{3})$ es una solución modulo $m$.

Del mismo modo, si $5\nmid m$,$(m,5)=1$. Entonces a partir de la $3^2-34=-(5^2)$, luego también tengo $\bar{5}^2(3^2-34)\equiv (\bar{5}\cdot 3)^2-34(\bar{5}^2)\equiv -(\bar{5})^2(5^2)\equiv -1\pmod{m}$.

Así que para cualquier $m$ no divisible por $3$ o $5$, existe una solución. A continuación, para $m$ tal que $3|m$$5|m$, $m$ ha factorización en primos $m=3^a5^b{p_1}^{q_1}\cdots {p_r}^{q_r}$. Esto daría el sistema de congruencias

$x^2-34y^2 \equiv -1 \pmod{3^a}, x^2-34y^2 \equiv -1 \pmod{5^b}, x^2-34y^2 \equiv -1 \pmod{{p_i}^{q_i}}$

Entonces $5\nmid 3^a$, $3\nmid 5^b$, y $3\nmid {p_i}^{q_i}$$5\nmid {p_i}^{q_i}$, de modo que cada una de las congruencias tiene una solución. ¿El Teorema del Resto Chino, a continuación, implica que hay una solución modulo $m$? Sé que esto tiene para los polinomios en una variable $x$, y que el número de soluciones es el producto del número de soluciones para cada potencia principal del módulo. Sería el mismo resultado sostener ahora que hay dos variables en el polinomio? No he encontrado pruebas para apoyar o contradecir el resultado. Gracias!

Answer 1

El Teorema del Resto Chino dice que si el modulii $m_1,\ldots,m_k$ son parejas relativamente primos, y $a_1,\ldots,a_k$ son arbitrarios, entonces hay una solución $x$ a la congruencia del sistema \begin{align*} x &\equiv a_1 &\pmod{m_1}\\ x &\equiv a_2 &\pmod{m_2}\\ &\vdots\\ x &\equiv a_k &\pmod{m_k} \end{align*} y la solución es única, modulo $m_1\cdots m_k$.

Así, para cada una de las $i$ encontrar un valor de $r_i$ y un valor de $s_i$ tal que $r_i^2 - 34s_i^2 \equiv -1 \pmod{p_i^{q_i}}$, y los valores de $r$ $s$ para la congruencia modulo $3^a$, y los valores de $r'$ $s'$ para la congruencia modulo $5^b$. Aplicar el Teorema del Resto Chino a la $r_i$, $r$, y $r'$ (con la debida modulii) para obtener un único valor de $x$ que es congruente con lo que usted desea para cada uno de congruencia. Hacer lo mismo con el $s_i$, $s$, y $s'$ para obtener un valor de $y$. El único valor de $x$ $y$ es la solución que usted desea.

Aviso que no están aplicando el Teorema del Resto Chino de 2 polinomio variable (o a una variable del polinomio distinto de $p(x)=x$, para el caso): más bien, se están encontrando los valores que desee para cada variable para cada fuente primaria de energía, y, a continuación, usted está utilizando el Teorema del Resto Chino para encontrar un único valor que tienen los restos para cada una de las variables por separado.