¿Dónde $X_0^{-d}$ $G'_r$ provienen de Polchinski Eq. (6.2.13)?

Question

Tengo una pregunta acerca de derivados Eq. (6.2.13) en Polchinski de la cadena de el libro de la teoría volumen I. se afirma que

Ahora, considere la ruta integral con un producto de taquiones vértice operadores, $$A_{S_{2}}^{n}(k,\sigma)=\left\langle [e^{ik_{1}\cdot X(\sigma_{1})}]_{r}[e^{ik_{2}\cdot X(\sigma_{2})}]_{r}\cdots[e^{ik_{n}\cdot X(\sigma_{n})}]_{r}\right\rangle _{S_{2}}\tag{6.2.11}$$ Esto corresponde a $$J(\sigma)=\sum_{i=1}^{n}k_{i}\delta^{2}(\sigma-\sigma_{i})\tag{6.2.12}$$ La amplitud (6.2.6) se convierte en $$\begin{multline}A_{S_{2}}^{n}(k,\sigma)=iC_{S_{2}}^{X}(2\pi)^{d}\delta^{d}\biggl(\sum_{i}k_{i}\biggr)\\\times\exp\biggl(-\sum_{i,j=1;i<j}^{n}k_{i}\cdot k_{j}G'(\sigma_{i},\sigma_{j})-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}k_{i}^{2}G_{r}'(\sigma_{i},\sigma_{i})\biggr)\qquad\end{multline}\tag{6.2.13}$$ donde $C_{S_{2}}^{X}=X_{0}^{-d}(\det'\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'})_{S_{2}}^{-d/2}$ y $G_{r}'(\sigma,\sigma')=G'(\sigma,\sigma')+\frac{\alpha'}{2}\ln d^{2}(\sigma,\sigma')$

Eq. (6.2.6) se

$$\begin{multline}Z[J]=i(2\pi)^{d}\delta^{d}(J_{0})\biggl(\det'\frac{-\nabla^{2}}{4\pi^{2}\alpha'}\biggr)^{-d/2}\\\times\exp\biggl(-\frac{1}{2}\int d^{2}\sigma d^{2}\sigma'J(\sigma)\cdot J(\sigma')G'(\sigma,\sigma')\biggr)\end{multline}\tag{6.2.6}$$

Mi pregunta es: ¿de dónde se $X_0^{-d}$ $G_r'$ provienen de Eq. (6.2.13)? Yo podría tratar de enchufe (6.2.12) en (6.2.6) para ver a todos los demás término aparece, pero no $X_0^{-d}$ ni $G_r'$.

Answer 1

El renormalization $[...]_r$ de las exponenciales se define en la ecuación de $(3.6.5)$

$$ [\mathcal{F}]_r = \exp \left( \frac{1}{2} \int d^2\sigma d^2\sigma' \Delta(\sigma,\sigma')\frac{\delta}{\delta X^\mu(\sigma)}\frac{\delta}{\delta X_\mu(\sigma')}\right) \mathcal{F} $$

Aquí

$$ \Delta(\sigma,\sigma') =\frac{\alpha'}{2} \ln d^2(\sigma,\sigma') $$

donde $d(\sigma,\sigma')$ es la distancia geodésica entre los puntos de $\sigma$$\sigma'$. Así,

$$ [e^{ik \cdot X}]_r = \exp \left(- \frac{1}{2} \int d^2\sigma d^2\sigma' \frac{\alpha'}{2}k^2 \ln d^2(\sigma,\sigma') \right) e^{ik \cdot X} $$

Este es el origen del término, este último, en $G'_r$. El $X_0^{-d}$ término proviene de la función delta de $\delta^d(J_0)$, donde

$$J_0^\mu = \int d^2\sigma J^\mu(\sigma) X_0 $$

($X_0$ es una constante $(6.2.5)$). Conectar $J(\sigma)$ esto se convierte en

\begin{align} J_0^\mu &= \int d^2\sigma \sum_{i=1}^n k_i^\mu\delta^2(\sigma-\sigma_i) X_0 \\&= X_0\sum_{i=1}^n k_i^\mu \end{align}

El uso de la fórmula

$$ \delta[g(x)]=\sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{g'(x_i)} $$

donde $g'(x)$ es el x-derivados y la suma es sobre las raíces de la función $g(x)$, la función delta se convierte en $$ \delta^d\left(X_0 \sum_i k_i\right) = X_0^{-d} \delta^d \left(\sum_i k_i\right)$$