Encontrar $ \lim_{x \to 0^+} (\frac{\arctan (x)}{x})^{\frac{1}{x^2}} $ sin serie de energía.

Question

Tengo que encontrar: $\lim_{x \to 0^+} (\frac{\arctan (x)}{x})^{\frac{1}{x^2}}$

"Minimizar" el problema de encontrar: \lim_{x \to $ 0 ^ +} \frac {\ln (\frac {\arctan x} {x})} {x ^ 2} $

Regla de L'Hôpital una vez no basta, regla de segunda L'Hôpital parece peor. ¿alguna ayuda?

Edit: no puedo utilizar serie de energía. se proporciona en el siguiente semestre.

Answer 1

Que $\displaystyle A=\lim_{x\to0}\frac{\arctan x-x}{x^3}$

Aplicando la regla % de L'Hospital $\displaystyle A=\lim_{x\to0}\frac{\dfrac1{1+x^2}-1}{3x^2}=-\lim_{x\to0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)}=-\frac13$

Así, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\left(\frac{\arctan x}x\right)^{\dfrac1{x^2}}=\lim_{x\to0^+}\left(1+\frac{\arctan x-x}{x^3}\cdot x^2\right)^{\dfrac1{x^2}}$

$\displaystyle \approx \lim_{x\to0^+}\left(\left(1+\frac{-x^2}3\right)^{\dfrac3{-x^2}}\right)^{-\dfrac13}$

Ahora sabemos que $\displaystyle\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\dfrac1h}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$

Answer 2

Para agregar a la respuesta de laboratorio bhattacharjee-s:

De $ \lim_{x \to 0} \frac{\log (1+x)}{x} = 1 $ (que puede derivar fácilmente utilizando la regla de L'Hôpital, por ejemplo): %#% $ de #% (puede comprobarlo haciendo realidad las cancelaciones) $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\log \frac{\arctan x}{x}}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1+ \frac{\arctan x-x}{x})}{\frac{\arctan x-x}{x}} {\frac{\arctan x-x}{x^3}}$ $ (por la identidad anterior y la regla de L'Hôpital, como usted puede ver en la respuesta de laboratorio bhattacharjee-s)

Se deduce que la respuesta a tu pregunta es $$ = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1+ \frac{\arctan x-x}{x})}{\frac{\arctan x-x}{x}} \lim_{x\to0^+}{\frac{\arctan x-x}{x^3}} = -\frac13 $ (desde $e^{-\frac{1}{3}}$ es el logaritmo del límite original). Espero que haya completado lo suficiente!

Answer 3

"Minimizado" el problema de encontrar: $ \lim_{x \to 0^+} \frac {\ln(\frac{\arctan x}{x})} {x^2}$

La regla de l'Hôpital una vez no es suficiente, segundo de la regla de L'Hôpital parece peor. alguna ayuda?

Aplicando la regla de L'Hôpital trice y la simplificación en cada paso se obtiene:

\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln \left( \frac{\arctan x}{x}\right) }{x^{2}} &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln \left( \arctan x\right) -\ln \left( x\right) }{x^{2}}\tag{1} \\ &=&\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x-\arctan x-x^{2}\arctan x}{ x^{2}\arctan x+x^{4}\arctan x}\tag{2} \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-\arctan x}{4x^{2}\arctan x+x+2\arctan x} \tag{3}\\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{-1}{5x^{2}+8x\arctan x+8x^{3}\arctan x+3} \tag{4}\\ &=&-\frac{1}{3}.\tag{5} \end{eqnarray*}

AÑADIDO. Explicación:
$\ \:(1)$: $\frac{d}{dx}\left( \ln \left( \arctan x\right) -\ln \left( x\right) \right) =\dfrac{x-\arctan x-x^{2}\arctan x}{x\left( 1+x^{2}\right) \arctan x}$;

$\ \:(2)$: $\frac{d}{dx}\left( x-\arctan x-x^{2}\arctan x\right) =-2x\arctan x$;

$\ \:(2)$: $\frac{d}{dx}\left( x^{2}\arctan x+x^{4}\arctan x\right) =4x^{3}\arctan x+x^{2}+2x\arctan x$;

$\ \:(3)$: $\frac{d}{dx}\left( -\arctan x\right) =-\dfrac{1}{1+x^{2}}$;

$\ \:(3)$: $\frac{d}{dx}\left( 4x^{2}\arctan x+x+2\arctan x\right) =\dfrac{5x^{2}+8x\arctan x+8x^{3}\arctan x+3}{1+x^{2}}$.

Answer 4

\begin{align*} \lim_{x \to 0^+} (\frac{\arctan (x)}{x})^{\frac{1}{x^2}}&=\lim_{x \to 0^+} (\frac{x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} +... }{x})^{\frac{1}{x^2}}\\ &=\lim_{x \to 0^+}(1-\frac {x^2}3+ \frac{x^4}{5} - \frac{x^6}{7} +...)^{1/x^2}\\ &=e^{-1/3} \end{align*}