Covarianza y contravarianza de Levi Civita

Question

He leído algunos post antiguos sobre esta pregunta, pero no sé si lo estoy entendiendo. Estoy trabajando con un Lagrangiano que implica algunos Símbolos de Levi Civita y cuando calculo un término que contiene $\epsilon^{ijk}$ Obtengo el signo contrario utilizando $\epsilon_{ijk}$ . Siempre aplico las reglas normales: $\epsilon_ {ijk}=\epsilon^{ijk}=1$ ; $\epsilon_ {jik}=\epsilon^{jik}=-1$ etc. Yo creía que no hay diferencia entre el símbolo de Levi-Civita covariante y contravariante. ¿Qué sabe usted de esto?

Answer 1

Comentario a la pregunta (v2): Aparte de la cuestión de las diversas convenciones de signos generales que se encuentran en la literatura, tenga en cuenta que:

1. Por un lado, está la Levi-Civita símbolo con índices superiores (inferiores), cuyas entradas son sólo $0$ s y $\pm 1$ s; es una contravariante (covariante) pseudotensor densidad respectivamente.

2. Por otra parte, existe la Levi-Civita tensor con índices superiores (inferiores), cuya definición difiere de la de Levi-Civita símbolo por un factor de $\sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|}$ ; es un pseudotensor contravariante (covariante), respectivamente.