Por lo tanto, un problema de desafío establece que usted tiene un $n \times n$ donde cada entrada es un número entero entre $0$ y $9$ y cuando cada fila se lee como un número de base 10 el número es divisible por un factor común $m$ . El problema es demostrar que el determinante de la matriz también es divisible por $m$ . Hasta ahora tengo dos pruebas: Si $m$ es una potencia de un primo, entonces podemos considerar el campo ${\mathbb F}_m$ y el vector $(10^{n-1}, 10^{n-2}, \ldots, 1)$ es un vector no nulo en el núcleo de la matriz sobre ${\mathbb F}_m$ por lo que el determinante es $0$ sobre el campo por álgebra lineal general. O bien, para un $m$ podemos añadir $10^{n-1}$ veces la primera columna y $10^{n-2}$ veces la segunda columna y así sucesivamente y lo sumamos todo a la última columna sin cambiar el determinante, y entonces obtenemos la última columna son todos los números divisibles por $m$ por lo que el determinante es divisible por $m$ expandiendo el determinante a lo largo de la última columna. Sin embargo, ¿hay pruebas más elementales, digamos que sólo utilizan la fórmula básica de expansión completa del determinante, sin utilizar tantas propiedades del determinante?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
JoseH_Chicago
Puntos
1
Toma la matriz (matriz unitaria excepto la última columna) $$Q=\pmatrix{1&0&\dots&&10^{n-1}\cr0&1&0&\dots&10^{n-2}\cr\dots&0\cr0&\dots&&&1\cr}$$ Su determinante es obviamente 1, y la última columna de $A\,Q$ es obviamente las filas de $A$ interpretado en base 10. Si toda la última columna de $A\,Q$ se puede dividir por $m$ también su determinante, y como el determinante de Q es 1, el determinante de $A\,Q$ es el mismo que el determinante de $A$ .
