Prueba más elemental de que un determinante es divisible por $m$

Question

Por lo tanto, un problema de desafío establece que usted tiene un $n \times n$ donde cada entrada es un número entero entre $0$ y $9$ y cuando cada fila se lee como un número de base 10 el número es divisible por un factor común $m$ . El problema es demostrar que el determinante de la matriz también es divisible por $m$ . Hasta ahora tengo dos pruebas: Si $m$ es una potencia de un primo, entonces podemos considerar el campo ${\mathbb F}_m$ y el vector $(10^{n-1}, 10^{n-2}, \ldots, 1)$ es un vector no nulo en el núcleo de la matriz sobre ${\mathbb F}_m$ por lo que el determinante es $0$ sobre el campo por álgebra lineal general. O bien, para un $m$ podemos añadir $10^{n-1}$ veces la primera columna y $10^{n-2}$ veces la segunda columna y así sucesivamente y lo sumamos todo a la última columna sin cambiar el determinante, y entonces obtenemos la última columna son todos los números divisibles por $m$ por lo que el determinante es divisible por $m$ expandiendo el determinante a lo largo de la última columna. Sin embargo, ¿hay pruebas más elementales, digamos que sólo utilizan la fórmula básica de expansión completa del determinante, sin utilizar tantas propiedades del determinante?

Answer 1

Toma la matriz (matriz unitaria excepto la última columna) $$Q=\pmatrix{1&0&\dots&&10^{n-1}\cr0&1&0&\dots&10^{n-2}\cr\dots&0\cr0&\dots&&&1\cr}$$ Su determinante es obviamente 1, y la última columna de $A\,Q$ es obviamente las filas de $A$ interpretado en base 10. Si toda la última columna de $A\,Q$ se puede dividir por $m$ también su determinante, y como el determinante de Q es 1, el determinante de $A\,Q$ es el mismo que el determinante de $A$ .