encontrar el mínimo a, para el cual dos ecuaciones tienen una raíz común

Question

Podrían ayudarme por favor. Tengo dos ecuaciones: $2x^2-3x+1=0 $ y $ 2x^2-(a+3)x+3a=0$

Necesito encontrar el menor $a$ para las que estas dos ecuaciones tienen una raíz común. En un primer momento pensé que sería fácil, simplemente creando una ecuación con estas dos, y luego creando una función para $a$ y luego sólo un pequeño conocimiento derivado. Pero, por desgracia, parece que no es tan sencillo como creo, porque he recibido respuestas muy extrañas.

Sería maravilloso si pudieras ayudarme aquí, sólo que no puedo concentrarme lo suficiente tal vez.

Answer 1

No se necesita ningún conocimiento derivado. Un cero común de tus dos polinomios es una raíz de su diferencia. Así que debe ser una raíz de la ecuación $ax=3a-1$ . Es fácil ver que $a\ne 0$ . Así que cualquier raíz común debe ser igual a $3-1/a$ . Sustituye la primera ecuación y resuelve para $a$ .

Como se trata de una tarea para casa, omitimos el resto del cálculo. Pero después de un rato deberías obtener una cuadrática en $a$ .

Comentario: Por diversas razones, es bueno aplazar la división el mayor tiempo posible. Ya que $a\ne 0$ podemos reescribir la primera ecuación como $a^2x^2-3a^2x+a^2=0$ . Entonces podemos sustituir $3a-1$ para $ax$ . Esto da como resultado $$2(3a-1)^2 -3a(3a-1)+a^2=0,$$ y entonces la simplificación es agradable y rápida.

Answer 2

La teoría general es la siguiente: dos polinomios tienen una raíz común cuando su resultante es $0$ . Hay varias formas de calcularlo. La resultante de $2 x^2 - 3 x + 1$ y $2 x^2-(a+3) x+3 a$ es $20 a^2-18 a+4 = 2 (5 a - 2) (2 a - 1)$ por lo que existe una raíz común para $a=2/5$ y $a=1/2$ .

Answer 3

Nótese que estas ecuaciones no pueden tener dos raíces comunes. Porque si lo hicieran, entonces una ecuación es un múltiplo escalar de la otra, en cuyo caso, $$\dfrac{2}{2}=\dfrac{-3}{-(a+3)}=\dfrac{1}{3a}$$ La primera igualdad significaría que, $3=a+3 \implies a=0$ lo que hace que la segunda igualdad sea absurda.

Por lo tanto, dejemos que $\beta$ sea la raíz común de estas dos ecuaciones. Tenemos,

$$2\beta^2-3\beta+1=0$$ $$2\beta^2-(a+3)\beta+3a=0$$ Ahora usamos la regla de Cramer para observar eso,

Lo tenemos, $$ \dfrac{\beta^2}{\left| \begin{array}{rr} -3 & 1 \\ -(a+3) & 3a \end{array} \right| }=\dfrac{\beta}{\left| \begin{array}{rr} 1 & 3a \\ 2 & 2 \end{array} \right|}=\dfrac{1}{\left| \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -3 & -(a+3) \end{array} \right|}$$

Esto te da,

$$\dfrac{\beta^2}{-8a+3}=\dfrac{\beta}{2-6a}=\dfrac{1}{-2a}$$

Esto da como resultado, al eliminar $\beta$ , $$\left(\dfrac{2-6a}{-2a}\right)^2=\dfrac{-8a+3}{-2a}$$ Esto se simplifica a lo siguiente, $$10a^2-9a+2=0$$ cuyas raíces son $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{1}{2}$ lo que implica, lo menos $a$ es $\dfrac{2}{5}$ . Así, esto completa su respuesta.

Answer 4

Creo que se puede hacer de forma concreta. Las raíces de $2x^2-3x+1=0$ son $\frac{1}{2}\mbox{ and } 1.$ Por la fórmula cuadrática, las raíces de $2x^2-(a+3)x+3a=0$ son $$\frac{a+3-\sqrt{a^2-18a+9}}{8}\mbox{ and }\frac{a+3+\sqrt{a^2-18a+9}}{8}.$$ Si tienen raíces comunes, tenemos las siguientes posibilidades: $$\frac{a+3-\sqrt{a^2-18a+9}}{8}=\frac{1}{2}\mbox{ or }\frac{a+3-\sqrt{a^2-18a+9}}{8}=1,$$ o $$\frac{a+3+\sqrt{a^2-18a+9}}{8}=\frac{1}{2}\mbox{ or }\frac{a+3+\sqrt{a^2-18a+9}}{8}=1.$$ Cada una de ellas es una ecuación cuadrática en $a$ que puede ser resuelto.

Answer 5

La resultante de los dos polinomios es $\left| \begin{array} {cccc} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ 2 & -a-3 & 3a & 0 \\ 0 & 2 & -a-3 & 3a \end{array} \right| .$

Igualando este determinante a $0$ obtenemos $2 (2a-1) (5a-2)=0$ , dando $a = \frac 1 2$ y $a = \frac 2 5$ .