Necesita ayuda con $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}[i]$ no son proyectivas $\mathbb{Z}$-módulos.

Question

Sé que los módulos proyectivos $\mathbb{Z}$ son aquellos que están libres. Conozco ambas $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}[i]$ no son gratis como $\mathbb{Z}$ módulos, por lo que el resultado sigue.

Sin embargo, me gustaría saber por qué $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}[i]$ no se satisface la siguiente definición:

Un módulo $P$ es proyectivo si y sólo si para cada % de homomorfismo del módulo de sobreyectiva $f : N \to M$y cada módulo homomorfismo $g : P → M$, existe un homomorfismo h $h : P → N$ tal que $fh = g$.

Answer 1

Para $P=\Bbb{Q}[i]$ me gustaría tratar el siguiente. Deje $M=P$ $g$ ser la asignación de identidad. Deje $N$ ser el libre $\Bbb{Z}$-módulo con generadores $x_k,y_k$ indexados por $k\in\Bbb{Z}_{>0}$. Deje $f:N\to M$ ser el homomorphism se determina únicamente por $f(x_k)=1/k!$, $f(y_k)=i/k!$.

A continuación, $f$ es surjective, pero no hay separación homomorphism $h:P\to N$. Esto se deduce de la siguiente

Hecho de la diversión. Deje $f:P\to N$ ser un homomorphism de $\Bbb{Z}$-módulos. Suponga que $N$ es libre con base $\{x_i\mid i\in I\}$ y $P$ es divisible entre (es decir, para todos los $p\in P$ y todo entero $n>0$ existe un elemento $r\in P$ tal que $nr=p$). A continuación, $f$ es necesariamente la constante mapa a cero.

Prueba. Suponga que $f(p)\neq0$ algún elemento $p\in P$. Entonces $$f(p)=\sum_i a_i x_i$$ de tal manera que sólo un número finito de coeficientes de $a_i$ son no-cero. Deje $n$ ser un entero mayor que el valor absoluto de todos los coeficientes, $n>|a_i|$ todos los $i$. Entonces podemos ver que $f(p)\notin n N$. Pero existe un elemento $r\in P$ tal que $nr=p$. Por lo tanto debemos tener $f(p)=f(nr)=nf(r)\in n N$ contradecir lo anterior. QED.

Este tiene como una más general corolario de que un múltiplo $\Bbb{Z}$-módulo de $P$ no puede ser proyectiva de solución tanto de sus ejemplos. Necesitamos usar una lo suficientemente grande como un módulo en lugar de $N$. Uno con base indexados por todos los de $P$ va a hacer.