¿Cómo utilizar la transformada de Fourier con condiciones de contorno no triviales, como en el flujo potencial alrededor de una placa?

Question

En concreto, me gustaría poder resolver esta EDP con las condiciones de contorno correspondientes al flujo alrededor de una línea (sección transversal de la placa), también conocida como flujo-tangencia, con transformadas integrales.

$$(1) \quad {{\partial^2 \psi} \over {\partial x^2}}+{{\partial^2 \psi} \over {\partial y^2}}=0$$ Donde la condición de contorno satisface que la línea de corriente es constante en el límite de esta línea. $$(2) \quad \psi(x,0)=\mu \ , \quad |x| \lt r$$

Transformación de Fourier (1) con respecto a x, y simplificar utilizando las reglas de la derivada. Obtenemos.

$$(3) \quad {{d^2 \Psi} \over {d y^2}}-\omega^2 \cdot \Psi=0$$ Resuelve (3) hasta las constantes aditivas para obtener... $$(4) \quad \Psi=A \cdot e^{-|\omega| \cdot y}+B \cdot e^{|\omega| \cdot y}$$

He tomado el valor absoluto porque me parece que la raíz cuadrada de algo al cuadrado debe ser positiva. Sin embargo, esto podría ser perfectamente el problema de mi derivación. Los comentarios serían bienvenidos. Podría derivar el resto de mi resultado erróneo, pero en este punto creo que el error en mi razonamiento ha quedado suficientemente claro. ¿Cómo lo arreglo?

Si ayuda, elimino el lado derecho de (4) para evitar un potencial infinito, aplico un IFT, luego aplico el teorema de convolución y termino con... $$\psi(x,y)={1 \over \pi} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x,0) \cdot {y \over {(x-\omega)^2+y^2}} \ d\omega$$

Mis pensamientos: Creo que tal vez haya que ampliar las condiciones de contorno para imponer una velocidad constante a medida que la distancia tiende al infinito. También estoy bastante seguro de que poner valores absolutos en la solución de la EDO fue un error. Edición: Parece que el problema que resuelvo es correcto, pero no es el problema que quería resolver. ¿Quizás alguien pueda mostrarme dónde se equivocaron mis condiciones de contorno?

Preguntas: Me gustaría que me ayudaran a derivar el flujo alrededor de una sección de placa utilizando Transformadas integrales . No me interesa utilizar otros métodos que no impliquen una Transformada de Fourier o al menos una transformada integral de un tipo u otro. Básicamente el punto es usar transformadas integrales no la separación por variables o alguna otra técnica. A continuación es lo que estoy tratando de describir, sólo he volteado el eje en la "derivación" anterior...

Además, ¿cómo se utiliza generalmente una transformada integral si las condiciones de contorno implican 0 alrededor de un cuerpo y una constante en el infinito u otra región? Por ejemplo, ¿cómo se resuelve el problema de la partícula en una caja si $\Psi$ debe ser 0 más allá de los límites de la caja? Como otra pregunta, ¿cómo se utiliza la transformada de Fourier en coordenadas polares? ¿Es legal cambiar el 0 por $2\pi$ región angular a un límite infinito? ¿Qué tal si cambiamos la región semi-infinita por una región infinita? Por ejemplo, el flujo alrededor de un cilindro combinaría condiciones de contorno de valor 0, y todos los problemas anteriores.

Me cuesta mucho hacer esta pregunta, pero lo he intentado con todas mis fuerzas. Lo resumiré. ¿Cómo se utiliza la transformada de Fourier para las condiciones de contorno y los sistemas de coordenadas similares a los anteriores, como la tangencia del flujo?

Answer 1

Intentando esto de una manera un poco diferente, utilizando las Transformadas de Laplace (ya que estoy acostumbrado a ellas). Estoy usando el sistema de coordenadas de la gráfica, así que esto es en términos de y, no x (ya que la gráfica ayuda).

$$\mathcal L(\psi(x,y)) = \Psi(y,s) $$

$$\frac{d^2\Psi}{dy^2} + s^2\Psi = 0$$

$$ \Psi(y,s) = C_1(s)\sin(sy) + C_2(s)\cos(sy) $$

Sabemos inmediatamente que, en términos de y, $\Psi(-y,s) = \Psi(y,s)$ , lo que significa que $C_1(s) = 0$ Esto resuelve el problema del "valor absoluto" de antes.

Así quedan las condiciones de contorno: $\lim_{y \to \infty} \psi(x,y) = 0$ que requiere un exponencial negativo en $C_2(s)$ y $\lim_{x \to \infty} \psi(x,y) = 0$ Ahora la condición de contorno difícil de cuando x = 0, para algunos |y| < r, la función va a una constante. Esto se maneja mejor con la derivada, no con una constante:

$$\frac{d\psi(x,y<a)}{dx} = 0 $$

Lo que significa dividir la discontinuidad en diferentes placas. De hecho, yo usaría cuatro placas, como he mostrado aquí:

Esto se convierte entonces en un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, en el que cada una de las funciones convulsiona la salida. En definitiva, se trata de un problema complicado y es entonces cuando suele intervenir el AEF.