¿Puede alguien ayudarme a resolver la ecuación de $x^2 - 1 = e^x$?
Traté de tomar el logaritmo natural de ambos lados pero no sé dónde ir desde allí...
Tengo:
$\ln(x^2 -1) = x$ Pero no sé cómo resolver desde aquí. ¿Cualquier ayuda por favor?
Respuestas
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No hay ninguna expresión analítica para la solución de esta ecuación trascendental, ni siquiera en términos de la función W de Lambert. La única solución sería el uso de algoritmos numéricos, tales como el método de Newton. (Las raíces de su derivada se puede expresar en términos de la función W de Lambert, aunque).
egreg
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Primero tienes que ver de donde son las soluciones. Usted puede considerar la función $$ f(x)=e^x-x^2+1 $$ y calcular $$ \lim_{x\a\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty. $$ Ahora queremos ver si la función tiene puntos estacionarios. La derivada es $$ f'(x)=e^x-2x $$ y queremos ver de donde es positivo y negativo. De $$ \lim_{x\a\infty}f'(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty $$ sabemos que la derivada tiene un mínimo, que debe alcanzarse, en la $f''(x)=0$. Desde $$ f"(x)=e^x-2, $$ sabemos que es cero en $\log 2$. Ahora $$ f'(\log 2)=2-2\log 2=2(1-\log 2)>0 $$ debido a $2<e$, de modo que $\log 2<1$.
Por lo tanto sabemos que el $f'$ tiene un positivo mínimo, por lo que podemos afirmar que la $f'(x)>0$ todos los $x$. Como consecuencia, $f$ es creciente, por lo que se asume que el valor de $0$ sólo una vez.
Desde $f(-1)=e^{-1}<0$ $f(-2)=e^{-2}-3<0$ (porque, ciertamente,$e^{-2}<1$), sabemos que la única solución a la $a$ de su ecuación satisface $-2<a<-1$.
Con algún método numérico puede obtener mejores aproximaciones de $a$.
