¿Cuál es la forma de análisis no estándar (infinitesimal) para demostrar que la derivada de $e^x$ es $e^x$ ? Intenté probarlo yo mismo, pero me resulta difícil demostrarlo sin recurrir a las cosas estándar de los límites.
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user48672
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$$ \frac{e^{x + dx} -e^{x}}{dx}= e^x \left( \frac{e^{dx} -1}{dx} \right) $$ Transfieres todo a los reales no estándar, para que $dx$ puede llegar a ser infinitesimal. Entonces se evalúa la exponencial a partir de su serie infinita $$ \frac{e^{dx} -1}{dx} = 1+ \frac{dx}{2} + H.O.T (dx^2) $$ la parte estándar de la última es 1. Es exactamente la misma técnica que trabajar con aproximaciones.
Tomas Dabasinskas
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La ecuación $\frac{dy}{dx}=y$ suele resolverse de manera informal mediante la "separación de variables", que consiste en escribir $\frac{dy}{y}=dx$ y luego integrar ambos lados, produciendo $\log y= x$ o $y=e^x$ . Sin embargo, en el enfoque tradicional este cálculo es un mero recurso heurístico, ya que el símbolo $\frac{dy}{dx}$ no significa un cociente de infinitesimales sino que es un símbolo formal indivisible de la derivada. Por lo tanto, la justificación de este cálculo requiere una prueba aparte.
Mientras tanto, en el marco hiperrealista, donde los infinitesimales forman parte del conjunto de herramientas rigurosas, el cálculo puede tomarse literalmente, no como una heurística, sino como una prueba real. Hay que resolver algunos detalles relacionados con la fórmula $\frac{dy}{dx}=\text{st}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ pero básicamente es una buena prueba.
