¿Cómo puede resolver esta "paradoja"? Potencial central

Question

Una masa de punto realiza una eficacia 1-dimensional de movimiento en la coordenada radial. Si usamos la conservación del momento angular, la centrífuga potencial debe ser añadido a la original.

La ecuación de movimiento se puede obtener también a partir de la Lagrangiana. si sustituimos, sin embargo, la conserva el momento angular en el presente documento, a continuación, la centrífuga potencial surge con el signo opuesto. Así que si nos ingenuamente aplicar de Euler-Lagrange ecuación, entonces la fuerza centrífuga aparece con la señal equivocada en las ecuaciones de movimiento.

No sé cómo resolver esta "paradoja".

Answer 1

El problema general es que usted no puede conectar tu ecuaciones de movimiento en el Lagrangiano y , ingenuamente, esperar a recibir la misma ecuaciones de movimiento de vuelta de nuevo. ¿Por qué no? Veamos su ejemplo específico.

Para la historia habitual de empezar con $$ L = \frac12 m (\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) - V(r) . $$ Encontramos que el momento angular, que se define por $\ell=m r^2\dot\theta$, se conserva de manera que la ecuación de movimiento para la coordenada radial es $$ m \ddot r - \frac{\ell^2}{m r^3} + \frac{\partial V}{\partial r} = 0. $$

Ahora, desea conectar $\ell$ nuevo en el Lagrangiano. Si hacemos lo que tenemos $$ L = \frac12 m \left( \dot r^2 + \frac{\ell^2}{m^2 r^2} \right) - V(r). $$ Ingenuamente, si calculamos la ecuación de movimiento de este Lagrangiano que lo vamos a conseguir el signo opuesto al de la $\ell^2/m r^3$ plazo. Esto no es correcto!

Recordemos que cuando llamamos a $\ell$ una conserva de la cantidad que queremos decir es una constante en el tiempo, que es $\dot\ell=0$. Explícitamente la escritura de Euler-Lagrange las ecuaciones tenemos $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \left( \frac{\partial L}{\parcial\dot r} \right)_{r,\theta,\dot\theta} \right] - \left( \frac{\partial L}{\partial r} \right)_{\dot r,\theta,\dot\theta} = 0.$$ Aquí he incluido el recordatorio de que cuando tomamos derivadas parciales queremos decir que "todo lo demás" es constante y lo que "todo lo demás". Para el problema en cuestión tenga en cuenta que $$ \frac{\partial\ell}{\partial r} = \frac{2\ell}{r} \ne 0 $$ así que no es una constante en general. Manteniendo este en mente, podemos hacer llegar la correcta ecuación de movimiento (como se debe).

Answer 2

Craig J Copi ya ha dado una respuesta correcta. Aquí vamos a dar otra respuesta basada en la formulación Hamiltoniana.

1. Recordemos que el Lagrangiano de un no-relativista punto de partícula en un potencial central en un plano 2D lee en coordenadas polares $$L~=~\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) - V(r).$$ Aquí el potencial centrífugo $V_{\rm cf}=-\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2<0$ es negativo! Tenga en cuenta que el potencial centrífugo $V_{\rm cf}$ favores (=es minimizado) gran posición radial $r\to \infty$, como sería de esperar. Ver también este Phys.SE post.

2. El momenta son entonces $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ and $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$ La posición angular $\theta$ es cíclica variable, por lo que el conjugado de momentum $p_{\theta}$ (=el momento angular) es una constante de movimiento.

3. Ahora deducir que el Hamiltoniano es $$H~=~\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r).$$ Aquí el potencial centrífugo $V_{\rm cf}=\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}>0$ es positivo! Tenga en cuenta que el potencial centrífugo $V_{\rm cf}$ favores (=es minimizado) gran posición radial $r\to \infty$, como sería de esperar.