No hice ningún progreso. El problema es de RMC 2008.
La única idea que tengo es:
Trate de encontrar conjuntos de números irracionales tales que cada número en el sistema multiplicado por otro número en el conjunto da un número racional.
Respuestas
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Supongo que $q=x^2+2x$ es racional.
Entonces, por la fórmula cuadrática, $x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+4q}}{2}=-1 \pm \sqrt{\alpha}$, donde $\alpha=q+1$ puede ser cualquier racional es número no un cuadrado perfecto (puesto que $x$ es irracional).
Ahora, $$x^3-6x=(-1 \pm \sqrt{\alpha})^3-6(-1\pm\sqrt{\alpha}) = \pm \alpha^{3/2} - 3\alpha \mp 3 \sqrt{\alpha}+5$ $ será racional si y sólo si es de $\alpha^{3/2}-3\sqrt{\alpha}$ (ya que los otros términos son siempre racionales). Pero esto es igual a $\sqrt{\alpha}(\alpha-3)$. Ya que es racional $\alpha-3$ $\sqrt{\alpha}$ irracional, la cantidad entera será racional iff es cero: es decir, iff $\alpha=3$.
Así lo números $x$ que satisfacen la condición son $-1 \pm \sqrt{3}$.
Rene Schipperus
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Añadir aún otra solución que una simple.
Ya que $x^2+2x$ es racional por lo que también es $x^2+2x+1=(x+1)^2$.
Que $y=x+1$, que $y^2$ es racional, entonces $x^3-6x=y(y^2-3)-3y^2+5$ es racional, lo que significa que el $y(y^2-3)$ es racional.
Ahora desde $y$ es irracional y $y^2-3$ racional debemos tener $y^2-3=0$, así $y=\pm \sqrt{3}$ y $x=-1\pm\sqrt{3}$
anomaly
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Supongamos que $x^2 + 2x = q_1$ y $x^3 - 6x = q_2$ $q_1, q_2\in \mathbb{Q}$. Claramente $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 2$. Así el polinomio $t^2 + 2t - q_1$ divide $t^3 - 6t - q_2$; es decir, existe un $\alpha$ que da a $$t^3 - 6t - q_2 = (t^2 +2t + q_1)(t - \alpha) = t^3 + (2 - \alpha)t^2 + (q_1 - 2\alpha)t - \alpha q_1.$ $ comparación correspondientes coeficientes de $t^n$ $\alpha = 2$, $q_1 = -2,$ y $q_2 = 4$. Por lo tanto ambos polinomios son iff racional $x^2 + 2x + 2 = 0$; es decir, iff $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
David HAust
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$q,r\in\Bbb Q,\,\ x^2 = \color{#0a0}{q\!-\!2x},\,\ r = x(x^2\!-\!6) = x(\color{#0a0}{q\!-\!2x}\!-6) = (q\!-\!6)x - 2(\color{#0a0}{q\!-\!2x}) = (\color{#c00}{q\!-\!2})x - 2q$
Así $\, x\not\in\Bbb Q\,\Rightarrow\, \color{#c00}{q=2}\,\Rightarrow\,r=-2q = -4,$ así que los polinomios son $\,f = x^2\!+2x-2,\,$ y $x^3-6x+4 = (x\!-\!2)f,\,$ con raíces irracionales que las raíces de $\,f,\,$ es decir, $\,-1\pm \sqrt 3$
idlefingers
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Que $x$ ser un número irracional con $$x^{2} + 2x = \frac{p_{1}}{q_{1}},\ x^{3} - 6x = \frac{p_{2}}{q_{2}}$ $ % enteros $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$tal que $q_{1}, q_{2} \neq 0$ y $(p_{1}, q_{1}) = (p_{2}, q_{2}) = 1.$ entonces tenemos $$2x^{2} - (6 + \frac{p_{1}}{q_{1}})x + \frac{p_{2}}{q_{2}} = 0,$ $ así que $$x = \frac{6 + \dfrac{p_{1}}{q_{1}} \pm \sqrt{(6 + \dfrac{p_{1}}{q_{1}})^{2} - \dfrac{8p_{2}}{q_{2}}}}{4},$ $ donde si $$(6 + \dfrac{p_{1}}{q_{1}})^{2} - \dfrac{8p_{2}}{q_{2}} > 0$ $ y no es un cuadrado perfecto, entonces es irracional $x$.
