¿Otras integrales para la constante tribonacci?

Question

El post, Es que hay una parte integral de la proporción áurea? da numerosas y bellas integrales para $\phi$. Algunos eran tan especializaciones de la trigonométricas evaluaciones, tales como, $$F(k)=\int_0^\infty \frac{x^{\pi/k-1}}{1+x^{2\pi}}dx =\frac{1}{2}\csc\Big(\frac{\pi}{2k}\Big)=\phi,\quad\text{at}\;k=5$$ Sin embargo, las integrales de phi, primo de la tribonacci constante $T$ parecen ser más difíciles de encontrar. Phi aparece en el pentágono, dodecaedro, etc, pero $T$ también tiene un contexto geométrico, el desaire de cubo,

$\hskip2.8in$

Uno integral sé por $T$ es, $$\beta\times \Bigl(\frac{T+1}{T}\Bigr)^2=\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}dt = 1.570983\dots$$ donde, $$\beta=\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{1}{11}\bigr)\, \Gamma\bigl(\tfrac{3}{11}\bigr)\, \Gamma\bigl(\tfrac{4}{11}\bigr)\, \Gamma\bigl(\tfrac{5}{11}\bigr)\, \Gamma\bigl(\tfrac{9}{11}\bigr)}{11^{1/4}(4\pi)^2}$$ $$k = \frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{\frac{2T+15}{2T+1}}}$$ aunque es un poco insatisfactorio como $T$ aparece en el integrando.

P: ¿hay otras buenas integrales para el tribonacci constante $T$?

Answer 1

Es un integral aseado el % constante tribonacci $T$con la función eta de Dedekind $\eta(\tau)$: %#% $ de #% allí también es $$\int_0^{\infty} \eta( i \, x)\,\eta(i \,11 x) \,dx = \frac{ \ln T}{\sqrt{11}} $ $ $$\int_0^{\infty} \eta( i x)\,\eta(i\, 23 x) \,dx = \frac{ \ln \rho}{\sqrt{23}} $ Dónde está la constante plástico. Revise mi pregunta aquí para más detalles y más integrales.