Límite que implican Coeficientes binomiales: $\lim_{n \to \infty} {\left(\binom{n}{0}.\binom{n}{1}…\binom{n}{n}\right)}^{\frac{1}{n(n+1)}}$

Question

Que estoy enfrentando dificultades con el siguiente límite.

$$\lim_{n \to \infty} {\left(\binom{n}{0}.\binom{n}{1}…\binom{n}{n}\right)}^{\frac{1}{n(n+1)}}$$

Traté de tomar registro de ambos lados pero couldnot simplificar la expresión resultante.

Por favor ayuda en este regard.thanks.

Answer 1

Vemos que $$ \prod_{k=0}^n\binom{n}{k}=\frac{n!^{n+1}}{\prod_{k=0}^nk!^2}=\frac{n!^{n+1}}{\left(\prod_{k=0}^nk^{n+1-k}\right)^2}=\frac{H(n)^2}{n!^{n+1}}. $$ donde $H(n)=\prod_{k=1}^nk^k$. Ahora vemos que $$ \log(H(n))=\sum_{k=1}^nk\log(k)≥\int_{1}^nx\log(x)dx=\frac{n^2}{2}\log(n)-\frac{n^2}{4} $$ así como $$ \log(H(n))=\sum_{k=1}^nk\log(k)≤\int_{1}^{n+1}x\log(x)dx=\frac{(n+1)^2}{2}\log(n+1)-\frac{(n+1)^2}{4} $$ Esto le da $$ -\frac{\log(n)}{2(n+1)}-\frac{n}{4(n+1)}≤\frac{1}{n(n+1)}\log(H(n))-\frac{1}{2}\log(n)=\frac{1}{n(n+1)}\log(H(n))-\frac{1}{2}\log(n+1)+\frac{1}{2}\log(1+1/n)≤\frac{\log(n+1)}{2n}-\frac{n+1}{4n}+\frac{1}{2}\log(1+1/n). $$ Como tanto el límite inferior y el límite superior tienden a $-\frac{1}{4}$ $n\to\infty$ tenemos por el teorema del sándwich $$ \lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n(n+1)}\log(H(n))-\frac{1}{2}\log(n)\right]=-\frac{1}{4}\ffi\\ \lim_{n\to\infty}\frac{H(n)^{\frac{1}{n(n+1)}}}{\sqrt{n}}=e^{-\frac{1}{4}} $$ El uso de Stirlings aproximación nos aviso $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n!^{\frac{1}{n}}}{n}=e^{-1} $$ y así $$ \lim_{n\to\infty}\left[\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}\right]^{\frac{1}{n(n+1)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{H(n)^{\frac{2}{n(n+1)}}}{n!^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{H(n)^{\frac{1}{n(n+1)}}}{\sqrt{n}}\right)^2\left(\frac{n}{n!^{\frac{1}{n}}}\right)=(e^{-1/4})^2\cdot\frac{1}{e^{-1}}=\sqrt{e} $$

Answer 2

Esto debería ayudar a simplificar este problema, pero no sé cómo obtener una respuesta exacta y esto es demasiado largo para un comentario.

$$\prod_{k=0}^n {n\choose k}=\prod_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}$ $ Usando $\prod_{k=0}^nk!(n-k)!=(\prod_{k=0}^nk!)*(\prod_{k=0}^n(n-k)!)$ y $\prod_{k=0}^n(n-k)!=\prod_{k=0}^nk!$ y $\prod_{k=0}^nk!=\prod_{k=1}^nk^{n+1-k}$, podemos obtener: $$\prod_{k=0}^n\frac{n!}{(k!)^2}=\frac{1^n*2^n*3^n*...}{1^{2n}*2^{2n-2}*3^{2n-4}*...}=\prod_{k=1}^nk^{2k-n-2}$ $ que se obtiene un resultado desagradable según Wolfram Alpha.