¿Siento que falta algo en bebé Rudin teoremas 2.38 - 2.40?

Question

Así que yo estoy revisando bebé Rudin en estudiar para un Examen de Introducción para el programa de Doctorado. Estoy en el Capítulo 2, específicamente teoremas 2.38 - 2.40. Tener de forma independiente realizado las pruebas antes de estos teoremas, me pregunto por qué un enfoque más sencillo no está garantizada.

Considerar el Teorema 2.38: Si $\{I_n\}$ es una secuencia de intervalos en $R^1$, de tal manera que $I_n$ contiene $I_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$), luego infinito intersección de los conjuntos de $I_n$ no está vacío.

Por Rudin la definición de intervalo en la definición de 2.17, el intervalo es un conjunto cerrado en $R^1$. Desde $R^1$ es un espacio métrico, los intervalos de $I_n$ son por lo tanto compacto conjuntos. Así que no es Teorema 2.38 sólo el corolario al Teorema 2.36 directamente arriba de la página? ¿Por qué ir a través de la prueba de Rudin utiliza para demostrar el Teorema 2.38.

Me debe faltar algo básico?