¿Cuál es la longitud de arco de una función implícita?

Question

Mientras que una función explícita $y(x)$ Longitud de arco $s$ se obtiene fácilmente como

$$s = \int \sqrt{1+|y'(x)|^2}\,dx,$$

¿existe alguna fórmula para implícito funciones dadas por $f(x,y) = 0$ ? Se puede utilizar la diferenciación implícita $y'(x) = -\frac{\partial_y f}{\partial_x f}$ para obtener

$$s = \int\sqrt{1 + |\partial_y f / \partial_x f|^2}\,dx,$$

pero eso sigue requiriendo (localmente) resolver para $y(x)$ . ¿Existe alguna formulación que no requiera esto, por ejemplo, otra ecuación implícita que implique $s$ ?

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Pensamientos hasta ahora:

Se podría reescribir $s$ como

$$s = \int |\nabla f|\, |\partial_x f|dx,$$

o simetrizar a

$$s = \int |\nabla f|\, \underbrace{(|\partial_x f|dx + |\partial_y f|dy)}_{(*)}/2$$

donde $(*)$ puede estar estrechamente relacionada con $|df|$ Supongo (aunque no es idéntico debido a la $|\cdot|$ ), pero entonces

Answer 1

Consideremos el teorema de la divergencia en la región bidimensional $\mathcal R = \{(x,y):f(x,y)\le 0\}$ limitada por la curva $\mathcal C = \partial\mathcal R = \{(x,y):f(x,y)=0\}$ , $$\iint_{\mathcal R} \nabla\cdot\mathbf v\,\mathrm dA = \oint_{\mathcal C}\mathbf v\cdot\hat{\mathbf n}\,\mathrm d\ell.$$ Si tomamos $\mathbf v=\hat{\mathbf n}=(\nabla f)/\|\nabla f\|$ tenemos $\mathbf v\cdot\hat{\mathbf n} = 1$ Así que $$\iint_{\mathcal R} \nabla\cdot\left(\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}\right)\,\mathrm dA = \oint_{\mathcal C}\mathrm d\ell,$$ que es la longitud de arco de la curva.

No sé si esta fórmula es útil en absoluto, pero satisface sus requisitos.