Deje $X$ ser un espacio métrico. Recordemos que la densidad de caracteres, $dc(X)$, es la cardinalidad mínima de un subconjunto denso de $X$. Suponiendo que $X$ es un completo espacio métrico ¿cuáles son los posibles valores de la cardinalidad, $|X|$?
En el separables caso (es decir,$dc(X)=\aleph_0$), el Cantor-Bendixson teorema implica que los $|X| = \aleph_0$ o $|X|=2^{\aleph _0}$, pero, ¿qué acerca de la inseparable caso? Claramente debemos tener $dc(X)\leq |X| \leq dc(X)^{\aleph_0}$, y para cualquier $\kappa=dc(X)$ estos límites están saturados por el discreto métrica en $\kappa$ y por la "secuencia estándar métrica' en $\kappa^\omega$, por lo que siempre que $\kappa^{\aleph_0}\leq\kappa^+$ esta completamente caracteriza a las posibilidades. Pero dependiendo del conjunto teórico de la hipótesis y el valor específico de $\kappa$ no puede ser cardenales $\lambda$ estrictamente entre el$\kappa$$\kappa^{\aleph_0}$, por ejemplo si $2^{\aleph_0}=\aleph_3$,$\aleph_1<\aleph_2<\aleph_1^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.
Así que la pregunta es: Para espacios métricos $X$$dc(X)>\aleph_0$, ¿ZFC prueba de cualquiera de las restricciones sobre los posibles valores de $|X|$ más allá de la $dc(X)\leq|X|\leq dc(X)^{\aleph_0}$?
