La descomposición de una representación de la matriz de

Question

Actualmente estoy trabajando en el siguiente problema:

Suponga que $X$ es reducible en representación de la matriz de la forma

\begin{equation} X(g)=\left( \begin{array}{c|c} A(g) & B(g)\\ \hline 0 & C(g) \\ \end{array}\right). \end{equation}

Use la parte (a) para mostrar que $$TX(g)T^{-1} = \left( \begin{array}{c|c} A(g) & 0\\ \hline 0 & C(g) \\ \end{array}\right),$$ donde $T = \left( \begin{array}{c|c} I & D\\ \hline 0 & I \\ \end{array}\right)$ and $D = \frac{1}{|C|}\sum_{g \in G} (g^{-1})B(g).$

En la parte (a) se encontró que $A(gh) = A(g)A(h)$, $C(gh) = C(g)C(h)$, por la equiparación de los bloques en $X(gh) = X(g)X(h)$.

Esto es lo que he conseguido hasta ahora:

Claramente $T^{-1} = \left( \begin{array}{c|c} I & -D\\ \hline 0 & I \\ \end{array}\right)$.

Entonces $$TX(g)T^{-1} = \left( \begin{array}{c|c} I & D\\ \hline 0 & I \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c|c} A(g) & B(g)\\ \hline 0 & C(g) \\ \end{array}\right)\left( \begin{array}{c|c} I & -D\\ \hline 0 & I \\ \end{array}\right)= \left( \begin{array}{c|c} A(g) & B(g) + DC(g)\\ \hline 0 & C(g) \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c|c} I & -D\\ \hline 0 & I \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c|c} A(g) & -A(g)D + B(g) + DC(g)\\ \hline 0 & C(g) \\ \end{array}\right).$$

Por lo tanto, tenemos la obligación de mostrar que $-A(g)D + B(g) + DC(g) = 0$.

Pero $-A(g)D = -A(g)\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}A(g^{-1})B(g)$$DC(g) = \frac{1}{|G|}(\sum_{g \in G}A(g^{-1})B(g))C(g)$.

Aquí no veo ningún camino a seguir. ¿Sabe usted qué podía hacer yo?

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Esto es bastante simple en realidad. Como se señaló en el OP, es suficiente para mostrar que $-A(g)D+B(g)+DC(g)=0$.

Ahora, lo que equivale otro bloque en $X(gh)=X(g)X(h)$, obtenemos $A(g)B(h)+B(g)C(h)=B(gh)$ o (cambiando los nombres de las variables) $A(h)B(g)+B(h)C(g)=B(hg)$. Pero, a continuación,

$$ \begin{array}{lcl} DC(g)&=&\frac{1}{|G|}\sum_{h\in G}A(h^{-1})B(h)C(g) \\ &=& \frac{1}{|G|}\sum_{h\in G}A(h^{-1})\big(B(hg)-A(h)B(g)\big) \\ &=& \bigg(\frac{1}{|G|}\sum_{h\in G}A(h^{-1})B(hg)\bigg)-B(g) \\ &=& \bigg(\frac{1}{|G|}\sum_{w\in G}A(gw^{-1})B(w)\bigg)-B(g) \ (\text{putting } w=hg)\\ &=& A(g)D-B(g). \end{array} $$