La gramática es "una categoría es la tensored más de un monoidal categoría; esta es una generalización de un conjunto equipadas con una acción de un monoid, o un grupo abelian equipadas con una acción de un anillo. En todos los casos deberá proporcionar el tensoring, pero a veces si se requieren existe de forma única.
El patrón general de la singularidad de los resultados que sé, es como sigue: vaya a $V$ ser un cerrado monoidal simétrica categoría y deje $C$ $V$enriquecido con la categoría, por lo que tenemos un hom functor $[-, -]$ tomando valores en $V$. $C$ es tensored o copowered $V$ si el functor $[x, -] : C \to V$ siempre ha enriquecido a la izquierda adjunto; es decir, si hay una "acción" functor $(-) \otimes x : V \times C \to C$ a caber en un enriquecido-tensor de hom contigüidad
$$[v \otimes x, y]_C \cong [v, [x, y]]_V.$$
Este fuerte noción de la tensored $V$ implica que el tensoring es único dado el $V$enriquecido con la estructura, ya que está determinado por la $V$enriquecido con la estructura por encima de contigüidad. Ejemplos:
Cada cocomplete categoría $C$ es tensored $\text{Set}$ (con el sistema de estructura monoidal) en este sentido. Si $v$ es un conjunto y $x \in c$, $v \otimes x$ es el subproducto de $v$ copias de $x$. Este tensoring está determinada únicamente por la condición de que $1 \otimes x$ es el functor identidad y que $(-) \otimes x$ es cocontinuous.
Cada cocomplete $\text{Ab}$enriquecido con la categoría de $C$ es tensored $\text{Ab}$ (con monoidal estructura dada por la costumbre producto tensor $\otimes$) en este sentido. Por ejemplo, $\mathbb{Z}^n \otimes x$ es la suma directa de $n$ copias de $x$, e $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes x$ es el cokernel de la multiplicación por$n$ mapa de $x \xrightarrow{n} x$. Este tensoring es de nuevo se determina únicamente por la condición de que $\mathbb{Z} \otimes x$ es el functor identidad y que $(-) \otimes x$ es cocontinuous. Si $C = \text{Mod}(R)$ es de la categoría de módulos sobre un anillo, entonces esta noción de tensoring con un abelian grupo está de acuerdo con la obvia idea.
Por lo tanto una manera de exhibir un tensoring más de simplicial conjuntos es a exhibir un enriquecimiento más de simplicial conjuntos y, a continuación, pedir a su izquierda adjunto. Hay varias maneras de hacer esto, incluyendo pero no limitado a la Hamaca de la localización con respecto a algunos de la colección de $W$ de la debilidad de equivalencias.
En un conveniente (en particular cartesiana cerrada) de la categoría de espacios topológicos, se puede conseguir un enriquecimiento más de simplicial establece tomando el singular conjunto simplicial de la asignación de espacio. A continuación, el tensoring se da por tomar el producto (en la cómoda de la categoría) con el geométrica realización: creo que esto se sigue del hecho de que la realización geométrica es adjunto a la izquierda para tomar el singular conjunto simplicial.
