Posibles patrones de embaldosado para hexágono equiangular con longitudes laterales alternas

Question

Quiero hacer un patrón de un hexágono equiangular con longitudes laterales de 1-5-1-5-1-5. Aquí hay 3 ejemplos que hice:

¿Qué patrones diferentes existen? ¿Hay más que los que yo muestro? ¿Y cuál es el más eficiente en cuanto a espacio, de modo que minimiza el espacio desperdiciado entre los hexágonos?

Revisé la página de Wikipedia en los tejados hexagonales pero no puedo encontrar ejemplos para este hexágono específico.

Answer 1

Aquí están los patrones que se me ocurrieron, representados por sus celdas unitarias y con sus densidades enumeradas al lado:

El primer mosaico mostrado en la pregunta no tiene código en mi diagrama y tiene densidad $\frac{46}{49}=0.9388$ . Esto no es muy interesante porque es una reordenación del mosaico A0 (el segundo de la pregunta), que tiene la misma densidad.

A partir del mosaico A0 podemos desplazar los hexágonos en sus bordes largos de una a cinco unidades para crear los mosaicos A1 a A5. A medida que crecen los agujeros entre las baldosas, también disminuye la densidad:

• A1 tiene densidad $\frac{23}{26}=0.8846$
• A2 tiene densidad $\frac{46}{61}=0.7541$
• A3 tiene densidad $\frac{23}{38}=0.6053$
• A4 tiene densidad $\frac{46}{97}=0.4742$
• A5 tiene densidad $\frac{23}{62}=0.3710$

El mosaico B es el último que aparece en la pregunta y tiene una densidad $\frac{23}{27}=0.8519$ .

Ahora, para responder a la pregunta de la mayor densidad de mosaico posible. Cuando empecé a escribir esto pensé que era el mosaico M, que tiene densidad $\frac{23}{24}=0.9583$ y presenta filas de baldosas que pueden deslizarse unas sobre otras.

Entonces me di cuenta de que las filas podían empujarse un poco más entre sí, dando lugar a la real Ganador: mosaico N con densidad $\frac{46}{47}=0.9787$ .

Por lo tanto, si quieres alicatar una pared o un suelo real con esta forma, tus mejores opciones son los alicatados M y N. Aunque M es menos denso, no es quiral como N, y sus filas pueden hacer que se adapte mejor a las áreas (normalmente) rectangulares que los alicatados deben cubrir.