Necesita ayuda con $\int_0^\infty x^{-\frac{3}{2}}\ \text{Li}_{\sqrt{2}}(-x)\ dx$

Question

Necesito ayuda para resolver esta integral: %#% $ $$\int_0^\infty x^{-\frac{3}{2}}\ \text{Li}_{\sqrt{2}}(-x)\ dx,$ #% Dónde está el polylogarithm.

Answer 1

$$\int_0^\infty x^{-\frac{3}{2}}\ \text{Li}_{\sqrt{2}}(-x)\ \mathrm dx=-2^{\sqrt{2}}\pi.$$

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Prueba:

Utilice la fórmula (3) desde aquí para obtener una representación integral del polylogarithm: $$\text{Li}_s(-x)=-\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{k^{s-1}}{\frac{e^k}{x}-1}\mathrm dk.$ $ entonces, cambiando el orden de integración, $$\int_0^\infty x^{-p}\ \text{Li}_s(-x)\mathrm dx=-\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{x^{-p}\,\ k^{s-1}}{\frac{e^k}{x}-1}\mathrm dx\ \mathrm dk=\\\frac{\pi}{\Gamma(s)\sin \pi p}\int_0^\infty e^{k(1-p)}\ k^{s-1}\mathrm dk=\frac{\pi}{(p-1)^s \sin \pi p}$ $