Clases y modelos propios de la teoría de conjuntos

Question

Si tengo un modelo de ZFC y una clase propia en ese modelo, ¿hay siempre una extensión a otro modelo mayor donde esta clase propia se convierte en un conjunto? Sé que esto es posible en casos particulares, pero no tengo idea de si se puede hacer en general.

Gracias de antemano

Answer 1

Esta pregunta no puede responderse dentro de ZFC, y la respuesta depende un poco de la posición filosófica del que responde. Está algo relacionada con la pregunta " ¿Las clases adecuadas son objetos? " en MathOverflow, y la respuesta que alguien dé a esta pregunta va a estar relacionada con la respuesta que dé a esa pregunta. Desgraciadamente, como verás mirando allí, tanto la respuesta "Sí, las clases propias son objetos" como la respuesta "No, las clases propias no son objetos" tienen defensores. Del mismo modo, algunas personas responderían a esta pregunta "Sí", aunque la mayoría de los teóricos de conjuntos la responderían "No".

Para los que aceptan que existe un significado bien definido y objetivo del término "todos los conjuntos", la respuesta a esta pregunta es "No". Bajo este punto de vista, la colección de "todos los conjuntos" es un modelo de clase de ZFC que no puede ser un conjunto en ningún otro modelo (transitivo) de ZFC, porque la colección de "todos los conjuntos" no es en sí misma un conjunto por la paradoja de Russell. Esta es, con mucho, la posición más común sobre tu pregunta entre los teóricos de conjuntos.

Sostener que todo modelo de clase de ZFC es un conjunto en un modelo más amplio (transitivo) de ZFC parece requerir renunciar a la idea de que "todos los conjuntos" tienen un significado objetivo aparte de un modelo de ZFC. En ese caso, es consistente que todo modelo de clase de ZFC es incrustable como conjunto en un modelo diferente de ZFC, y de hecho es consistente que todo modelo de clase de ZFC es contable en otro modelo de ZFC. Por "consistente" quiero decir que esta situación es relativamente consistente con el propio ZFC, como muestran Gitman y Hamkins en su reciente artículo " Un modelo natural de los axiomas del multiverso ". Sin embargo, pocos teóricos del conjunto estarían de acuerdo en que los axiomas del multiverso son verdaderos.