¿Es diferenciable la función de la distancia?

Question

Que $I=[0,1]\subset \mathbb{R}$ y $x\in \mathbb{R}$ definir $f(x)= \operatorname{dist}(x,I)$ y necesito saber sus puntos del differentiability.

¿Pude ver que $f(x)$ es continuo por todas partes, pero para differentiability en algún punto de $x=c$ lo que tiene que hacer?

Answer 1

Pista: $\operatorname {dist}(x,I) = \begin{cases} |x|& x<0\\ 0 & 0\leq x\leq1\\ |x-1| & x>1 \end{casos} $ es decir $\operatorname {dist}(x,I) = \begin{cases} -x & x<0\\ 0 & 0\leq x\leq1\\ x-1 & x>1 \end{casos} $$

Answer 2

Para $x<0$ la distancia a $I$ es la misma que la distancia de a $0$, lo $f(x)=-x$. Para $x\in I$ la distancia de f(x)=0 y para a $x>1$ tomamos la distancia a $1$: $f(x)=x-1$. Esto se traduce en el siguiente gráfico alrededor de $I$.

Para una función de $f$ a ser diferenciable en a $x_0$ "pendiente" tiene que ser continua, por lo que tiene que ser el mismo que se acerca desde la izquierda como desde la derecha. Formalmente, una función de $f$ se dice derivable en el punto a $x_0$ si

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

existe. En el gráfico podemos ver que podría ser un problema en $x_0=0$$x_0=1$. Echa un vistazo al límite en $x_0=0$:

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}. $$

Permitir $h$ enfoque de $0$ a partir de los valores positivos, nos encontramos con $f(h)=0$ por lo que el límite se evalúa a $0$. Dejando $h$ enfoque de $0$ a partir de los valores negativos, nos encontramos con $f(h)=-h$ por lo que el límite se evalúa a $\frac{-h}{h}=-1$. Porque el límite de la derecha no es el mismo que el límite de la izquierda podemos decir que el límite no existe y, como resultado, $f$ no es diferenciable en a $x_0=0$.

El mismo argumento se aplica a $x_0=1$.