¿$\mathbb Z_{p}[\sqrt{k}]$, Cuando es un campo?

Question

Me doy por vencido. Soy nuevo en el mundo de los campos, y

Estoy tratando de dar una condición suficiente y necesaria para $\mathbb{Z}_{p}[\sqrt{k}]=\{a+b\sqrt{k}:a,b\in \mathbb{Z}_{p}\}$ a ser un campo ($p$ es un primer y $k$ es un número entero positivo).

Reclamar que la condición es que no divide a $p$ $k$, pero no sé si esto es cierto, he intentado probarlo pero he se quedó atascado en la parte de "suficiente".

Sería fantástico si algunos de ustedes me pueden ayudar, gracias!.

Answer 1

Si $F$ es un campo, entonces $F[\sqrt{a}]$ es siempre un campo.

Caso I: $a$ es un cuadrado en $F$, $b^2 = a$. A continuación,$F[\sqrt{a}] = F[b] = F$.

Caso II: $a$ no es un cuadrado en $F$. Entonces el polinomio $X^2 - a$ es irreductible, por lo $F[\sqrt{a}] \cong F[X]/(X^2-a)$ es un campo.

Más generalmente, si $R$ es un anillo sin divisores de cero que contiene $F$, y es finito-dimensional como un espacio vectorial sobre $F$, entonces es un campo.

La cuestión que se planteó en los comentarios es que podemos definir la $F[\sqrt{a}]$$F[X]/(X^2-a)$, en lugar de la más pequeña sub-anillo de $\overline{F}$ contiene $F$ $\sqrt{a}$ (esta parece ser la definición de la intención). Pero cuando $a$ es un valor distinto de cero de la plaza, este es isomorfo a $F\times F$, que no es un campo, y al $a=0$, es isomorfo a $F[\epsilon]/\epsilon^2$ (hay una excepción menor al $\operatorname{char}K = 2$, en cuyo caso distinto de cero plazas también se producirá $F[\epsilon]/\epsilon^2$).