Un contraejemplo "erróneo" del lema de división en álgebra lineal

Question

Tengo un contraejemplo "erróneo" del siguiente enunciado en álgebra lineal, pero no veo por qué es erróneo: dejemos que $T:V\to W$ sea un mapa lineal entre espacios vectoriales. Entonces, $V$ es la suma directa de $\textrm{im}(T)$ y $\ker(T)$ .

Dejemos que $V$ es el espacio de los polinomios sobre un campo con grado menor o igual a n, y sea $T \colon V \to V$ sea el operador diferencial. Entonces $\textrm{im}(T)$ es el espacio de los polinomios de grado inferior o igual a $n-1$ y $\ker(T)$ es el campo base. Su suma directa es un subespacio propio de $V$ .

Answer 1

El enunciado del teorema debería ser el siguiente: sea $T \colon V \to V$ sea una transformación lineal tal que $\textrm{ker}(T) \cap \textrm{im}(T) = 0$ entonces $$ V = \textrm{ker}(T) \oplus \textrm{im}(T). $$ Como se menciona en los comentarios anteriores, este teorema no se aplica directamente a la transformación lineal dada $T \colon V \to V$ porque los subespacios $\textrm{ker}(T)$ y $\textrm{im}(T)$ se cruzan de forma no trivial (su intersección son las constantes).

Sin embargo, es cierto que $V$ es isomorfo a $U \oplus W$ como espacios vectoriales, donde $U \simeq \textrm{ker}(T)$ y $W = \textrm{im}(T)$ . El isomorfismo no es una igualdad, en el sentido de que $V$ no es la suma directa de los subespacios $\textrm{ker}(T) \subset V$ y $\textrm{im}(T)$ .

Answer 2

Creo que todos los demás están leyendo su pregunta al revés. Crees que una afirmación sobre sumas directas es verdadera, pero has escrito lo que sabes que es un contraejemplo de la misma. Quieres saber qué hay de malo en tu contraejemplo.

Sin embargo, el contraejemplo es correcto, porque la afirmación es errónea. En primer lugar, como se ha señalado en los comentarios, la afirmación $V$ es la suma directa de $\text{im}(T)$ y $\ker(T)$ ni siquiera tiene sentido a menos que $V = W$ .

Pero incluso para esto, como muestra tu contraejemplo, la afirmación no es cierta.

Lo que sí es cierto es lo siguiente: $V$ es la suma directa de $\ker(T)$ y un subespacio $V'$ que se mapea isomórficamente a $\text{Im}(T)$ a través de $T$ es decir $T|_V'$ es un isomorfismo a $\text{Im}(T)$ .