Voy a tratar de responder.
Así, por una simple teoría cinética tenemos la siguiente derivación.
La partícula de la función de partición es:
$$Z_1 = \int \frac{d^3x d^3p}{(2\pi \hbar)^3} \exp{-(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)/(2mk_BT)} = V \left(\frac{(\pi*2mk_BT)^{1/2}}{2\pi\hbar}\right)^3$$
$$\implies Z_1 = V \left(\frac{mk_BT}{2\pi\hbar^2}\right)^2 = V/\lambda^3$$
Este es un bonito estándar de la derivación y las integrales son estándar.
El factor de $2\pi\hbar$ puede ser comprobado por el espacio de fase argumento, pero por ahora, sólo vamos a asumir que los resultados.
Ahora una función de partición de N partículas puede ser calculado como:
$$Z_N = \frac{Z_1^N}{N!}$$
Ahora todo se reduce a calcular el potencial químico de la siguiente ecuación:
$$\mu = \frac{\partial F}{\partial N} = - \beta^{-1} \frac{\partial \ln{Z_N}}{\partial N}$$
Esto es algo de álgebra, pero no es muy importante para la discusión.
La cosa más importante es que el potencial químico se convierte en positivo cuando:
$$V/\lambda^3 = 1$$
Ahora, esto puede ser interpretado como una manera de decir, que las partículas ocupan todo el espacio del recipiente y ahora hay un aumento en la energía del sistema si hay más partículas se introducen.
Esto también puede ser interpretada de diferente manera, ahora las partículas se vuelven mucho más cerca, y sus wavefunctions empezar a interactuar y a su naturaleza se convierte en importante. Se pueden clasificar a cualquiera de los Fermiones o Bosones.
Ahora al punto: las distribuciones de energía para los diferentes sistemas puede ser calculada teniendo en cuenta la Gran función de Partición.
Para un simple sistema de llenado, la gran función de partición puede ser escrita de la siguiente manera:
$$ \Xi = \sum_n^1 \left(e^{-\beta(\varepsilon_k - \mu)}\right)^n = 1+e^{-\beta(\varepsilon_k - \mu)}$$
A continuación, el número de partículas puede ser calculada de la siguiente manera:
$$ \left< n \right>_{k,F} = \frac{\partial \Xi}{\partial \mu} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)}-1}$$
Para B sistema tenemos una expresión similar:
$$ \Xi = \sum_n^\infty (1-e^{-\beta(\varepsilon_k - \mu)})^n = \frac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_k - \mu)}}$$
$$ \left< n \right>_{k,B} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)}+1}$$
No sé si usted quisiera mostrar cómo calcular la energía interna de este, pero no debería ser difícil haciendo algunas aproximaciones en el camino.
Sólo hay que considerar la integral:
$$ U = \int_0^\infty g(\varepsilon) n(\varepsilon)\varepsilon d\varepsilon$$
donde $g$ es la relación de dispersión, que es diferente para muchos sistemas diferentes, pero se puede obtener fácilmente una vez que el sistema físico en cuestión es conocido.
Y $n$ es la densidad de estados para algunas energía dada, que se relaciona con el promedio de la partícula número de la siguiente manera:
$$\left<n\right>_k \frac{\partial k}{\partial \varepsilon}\delta\varepsilon = n(\varepsilon)\delta\varepsilon$$
