He tratado de encontrar un ejemplo de dos modelos $\mathcal{M,N}\models PA$ tal que $\mathcal{M}\not\cong\mathcal{N}$ pero $Aut(\mathcal{M})\cong Aut(\mathcal{N})$ .
Sé que para contablemente saturado recursivamente esto es todavía una cuestión abierta (Automorphism Groups of Countable Arithmetically Saturated Models of PA, Schmerl, 2014), pero me preguntaba si hay un ejemplo para tales modelos sin las limitaciones de ser contables y recursivamente saturados.
Se agradece cualquier ayuda.
Hay un montón de rígido modelos de $\textsf{PA}$ -- modelos sin automorfismos no triviales. Por ejemplo, cualquier modelo finitamente generado de la aritmética es rígido (esto es una fácil aplicación del Lemma de Ehrenfeucht, que dice que si $a, b$ están en $\mathcal{M}$ son tales que existe un término de Skolem $t(x)$ avec $\mathcal{M} \models t(a) = b$ entonces sus tipos son diferentes). Por lo tanto, tome $\mathbb{N}$ y cualquier extensión elemental finitamente generada de $\mathbb{N}$ -- ambos serán rígidos pero no serán isomorfos.
Gracias por su respuesta. Buscando material sobre modelos rígidos, me topé con el siguiente resultado: Para cada cardinal regular $\kappa$ Hay un rígido, recursivamente saturado y $\kappa$ -como modelo de la aritmética de Peano (Minimal Satisfaction Classes with an Application to Rigid Models of Peano Arithmetic, de Kossak y Schmerl). Así que incluso bajo la limitación de ser recursivamente saturado hay un ejemplo de este tipo para los modelos no isomórficos de PA con grupos de automorfismo triviales (e isomórficos).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
