El subespacio abarcado por los vectores propios es una subálgebra

Question

Dejemos que $L$ sea un álgebra de Lie sobre un campo algebraicamente cerrado y sea $x\in L$ . Demostrar que el subespacio de $L$ que abarcan los vectores propios de $\operatorname{ad}x$ es una subálgebra.

Supongamos que los vectores propios de $\operatorname{ad}x$ son $y_1,\ldots,y_n$ con valores propios $a_1,\ldots,a_n\in F$ . Así que $[xy_i]=a_iy_i$ para $i=1,\ldots,n$ . Sea $z_1,z_2$ esté en el subespacio abarcado por los vectores propios de $\operatorname{ad}x$ . Supongamos que $z_1=b_1y_1+\ldots+b_ny_n$ y $z_2=c_1y_1+\ldots+c_ny_n$ . Debemos demostrar que $[z_1z_2]$ es una combinación lineal del $y_i$ 's.

Tenemos $[z_1z_2] = \sum_{i\neq j}b_ic_i[y_iy_j]$ . ¿Y entonces qué?

Answer 1

Como sugiere PJ Miller en su pregunta, dejemos que $y_k$ sean los vectores propios de $\mathrm{ad}_x:L \to L$ Por lo tanto

$\mathrm{ad}_x(y_k) = a_ky_k$ ,

donde el $a_k \in F$ . Consideremos la identidad de Jacobi para la operación de corchete en $L$ :

$[x, [z, w]] + [w, [x, z]] + [z, [w, x]] = 0$ ,

que es válida para todos los $x, z, w \in L$ . Esto se puede reescribir claramente como, utilizando la simetría de los corchetes, $[w, x] = -[x, w]$ etc..,

$[x, [z, w]] + [w, [x, z]] - [z, [x, w]] = 0$ ,

o

$\mathrm{ad}_x([z, w]) + [w, \mathrm{ad}_x(z)] - [z, \mathrm{ad}_x(w)] = 0$

ahora tomando $z = y_i$ y $w = y_j$ tenemos

$\mathrm{ad}_x([y_i, y_j]) + [y_j, \mathrm{ad}_x(y_i)] - [y_i, \mathrm{ad}_x(y_j)] = 0$ ,

y utilizando $\mathrm{ad}_x(y_k) = a_ky_k$ esto se convierte en

$\mathrm{ad}_x([y_i, y_j]) + [y_j, a_iy_i] - [y_i, a_jy_j] = 0$ ,

que tras un pequeño reordenamiento utilizando la linealidad de la operación de paréntesis da como resultado

$\mathrm{ad}_x([y_i, y_j]) = -[y_j, a_iy_i] + [y_i, a_jy_j] = -a_i[y_j, y_i] + a_j[y_i, y_j] = (a_i + a_j)[y_i, y_j]$ ,

que de hecho muestra que $[y_i, y_j]$ es un vector propio de $\mathrm{ad}_x$ con valor propio $a_i + a_j$ . Así, $[y_i, y_j]$ siendo un vector propio de $\mathrm{ad}_x$ está claramente en el ámbito del conjunto de vectores propios. ¡¡¡QED!!!

Añadido en la edición: El argumento anterior muestra claramente que el OP's $[z_1, z_2]$ está en el ámbito del conjunto de vectores propios de $\mathrm{ad}_x$ ¡!