$SL_2( \mathbb{Z})$, ¿Qué interpretación es disponible para los elementos hiperbólicos? ¿Lo que es cierto, si tenemos en cuenta un subgrupo de congruencia?
He oído que hay una conexión con ciertos números de clase.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Clases Conjugacy hiperbólicos de los elementos en $SL(2,Z)$ están en bijection con unidades en anillos de enteros algebraicos en real cuadrática campos. De esta manera se sigue directamente de mirar el polinomio característico. En el cociente de la mitad superior del plano-por $SL(2,Z)$ el (hiperbólica) geodesics la conexión de las imágenes de los puntos por tales elementos _close_up_, dando "cerrado geodesics" en la superficie modular. El (hiperbólica) de longitud es el logaritmo del valor absoluto de la unidad. Todo esto es sencillo de cálculo, una vez que uno concibe la idea de ella. Iwaniec' "Espectral de la teoría de la automorphic formas"' primeros capítulos de tratar tales cosas.
La congruencia de los subgrupos, la correspondiente condición de congruencia se inserta en todas partes, y la relación de "conjugacy" debe ser adaptado en la manera obvia.
Un nivel más sutil implica Selberg del conjunto de la suma de las longitudes de cerrado geodesics en su "función zeta", para que él pudo demostrar el análogo de la Hipótesis de Riemann. Iwaniec' la libreta de direcciones de tales cosas, también, al menos de manera preliminar.
La mayoría de conexión inmediata con los números de la clase viene cuando los períodos a lo largo de la correspondiente adelized algebraica de grupo $GL(1,k)\subset GL(2,Q)$ son calculadas desde el adelized $GL(1,k)$ "automáticamente" incluye los grupos de la clase (como en Iwasawa-Tate reescritura de Hecke acerca de GL(1) L-funciones). Para el complejo cuadrática campos, en lugar de la evaluación sólo en una sola puntos, tales como $\sqrt{-5}$, uno debe tomar una suma ponderada sobre los representantes de los puntos de todos los ideales de las clases. La cosa análoga sucede con el real cuadrática campos. Es decir, la "mayoría natural" expresión que combina las unidades y los números de la clase.
Un poco más sofisticado (que también se introdujo en Iwaniec, por ejemplo) es que Selberg de la "traza" fórmula expresa (por ejemplo) las sumas sobre cerrado geodesics en términos de un espectral "dual": la cerrada geodesics se producen en el "geométrica lado" de la traza de la fórmula, y las huellas de las representaciones se producen en el "espectral". Iwaniec de tratamiento es tan elementales como pueden ser hechas.
