¿Si $q>1$ no es un entero, se puede $q^n$ hacer arbitrariamente cerca números enteros?

Question

Esta pregunta surgió cuando me enteré de Molino constante: el número de $A$ tal que $\lfloor A^{3^n} \rfloor$ es primordial para todos los $n$. Me pregunto si $A^{3^n}$ podría hacerse arbitrariamente cerca de compuesto de números, o en otras palabras: "¿cómo de cerca puede $A^{3^n}$ llegar a la 'siguiente entero'?"

Tuve una sensación, tal vez errónea, de que esto podría tener que ver con la racionalidad de la $A$, pero ya que esta es una pregunta abierta, me decidí a considerar la cuestión más general en el título.

Tener muy poco conocimiento en esta área, los dos únicos pensamientos que se me ocurrieron fueron:

• para escribir $q=k+\epsilon$ donde $\epsilon<1$ $k\in\mathbb{N}$ y considerar cómo $k$ $\epsilon$ efecto de cada uno de los otros en $(k+\epsilon)^n$. El que parece ser difícil debido a la simetría en la expansión binomial. Este es también el lugar donde la racionalidad de la $\epsilon$ pueden entrar en juego.

• a ver si $q^{-n}$ podría obtener arbitrarly cerca de los términos de la secuencia armónica, ya que ambos convergen a la misma cosa, $0$. Esta es, probablemente, un poco ingenua.

Answer 1

Una clase particular de algebraica de los números enteros se llama Pisot números. Estos números tienen la propiedad que usted describe.
Un Pisot número es un entero algebraico mayor que $1$ a que todos sus conjugados en el interior del círculo unidad. O, equivalentemente, si $f$ es una irreductible polinomio con coeficientes enteros y todos los de sus raíces, excepto uno, son en el interior del círculo unitario, entonces la raíz fuera del círculo unidad es un número de Pisot. Un Pisot número nunca es un número entero.
Deje $\theta$ ser un pisot número y $c_1,\ldots,c_n$ sus conjugados. A partir de la teoría de los polinomios simétricos de ello se sigue que $$ \theta^k+\sum_{i=1}^nc_i^k\in\mathbb Z, \; \forall k\in\mathbb N. $$ Desde $|c_i|<1$ se sigue que $c_i^k\xrightarrow[k\to\infty]{}0 $. Por lo tanto para grandes $k$, $\theta^k$ está muy cerca de un entero.
El menor número de Pisot es $\theta_0=1.3247179572447460260$.
En la siguiente tabla es una lista de los valores de $\theta_0^k$$k=1,2,\ldots,50$. $$ \begin{array}{|c |c |c |c |} \hline k & \theta_0^k & k & \theta_0^k\\ \hline 1 & 1.324717957 & 26 & 1496.955904 \\ \hline 2 & 1.754877666 & 27 & 1983.044367 \\ \hline 3 & 2.324717956 & 28 & 2626.974482 \\ \hline 4 & 3.079595621 & 29 & 3480.000269 \\ \hline 5 & 4.079595620 & 30 & 4610.018846 \\ \hline 6 & 5.404313575 & 31 & 6106.974748 \\ \hline 7 & 7.159191238 & 32 & 8090.019112 \\ \hline 8 & 9.483909190 & 33 & 10716.99359 \\ \hline 9 & 12.56350481 & 34 & 14196.99385 \\ \hline 10 & 16.64310042 & 35 & 18807.01269 \\ \hline 11 & 22.04741399 & 36 & 24913.98743 \\ \hline 12 & 29.20660521 & 37 & 33004.00653 \\ \hline 13 & 38.69051439 & 38 & 43721.00011 \\ \hline 14 & 51.25401918 & 39 & 57917.99394 \\ \hline 15 & 67.89711957 & 40 & 76725.00660 \\ \hline 16 & 89.94453353 & 41 & 101638.9940 \\ \hline 17 & 119.1511387 & 42 & 134643.0005 \\ \hline 18 & 157.8416530 & 43 & 178364.0005 \\ \hline 19 & 209.0956721 & 44 & 236281.9944 \\ \hline 20 & 276.9927916 & 45 & 313007.0009 \\ \hline 21 & 366.9373250 & 46 & 414645.9947 \\ \hline 22 & 486.0884635 & 47 & 549288.9950 \\ \hline 23 & 643.9301163 & 48 & 727652.9952 \\ \hline 24 & 853.0257881 & 49 & 963934.9892 \\ \hline 25 & 1130.018579 & 50 & 1276941.990 \\ \hline \end{array} $$