El truco es escribir su desigualdades "dentro". Deje $k$ ser un entero positivo, entonces
$$
\begin{aligned}
\lceil \log {\lceil x \rceil} \rceil = k &\iff k - 1 < \log {\lceil x \rceil} \leqslant k \\
&\iff 10^{k-1} < \lceil x \rceil \leqslant 10^k \\
&\iff 10^{k-1} < x \leqslant 10^k\\
&\quad\quad\text{[reverse the steps ...]} \\
&\iff \lceil \log x \rceil = k.
\end{aligned}
$$
Esto demuestra el resultado de $x > 1$; el caso especial $x = 1$ es obvia.
Tenga en cuenta que puede caer el interior de techo sólo porque $10^{k-1}$ $10^k$ son enteros, es por eso que la base debe ser integral. En general, para un entero $n$ y real $x$,
$$\begin{aligned}n < \lceil x \rceil &\iff n < x;\\
n \leqslant \lfloor x \rfloor &\iff n \leqslant x;\\
n > \lfloor x \rfloor &\iff n > x;\\
n \geqslant \lceil x \rceil &\iff n \geqslant x.\end{aligned}$$
Por cierto, muchas identidades similares sostener, por ejemplo:
$$\Big\lfloor \sqrt {\lfloor x \rfloor} \Big\rfloor = \big\lfloor\sqrt x \big\rfloor,\quad x \geqslant 0;\\
\bigg\lfloor \frac{x+m}{n} \bigg\rfloor = \bigg\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n} \bigg\rfloor,\quad\begin{aligned}&\text{integer}\;m,\\ &\text{integer}\;n > 0;\end{aligned}$$
etc. Suficiente (pero no necesaria) condición para $\lfloor f(\lfloor x \rfloor)\rfloor = \lfloor f(x) \rfloor$ es que el $f$ ser estrictamente monótona creciente y la preimagen de cada número entero un número entero. Mismo vale para los techos, y también, por supuesto, $\lfloor f(\lceil x \rceil)\rfloor = \lfloor f(x) \rfloor$ (y "viceversa") si $f$ es decreciente.
Fuente: Graham, Knuth, y Patashnik Concreto de las Matemáticas, en el capítulo 3.
