Determinante de la matriz inversa

Question

Busco una prueba de lo siguiente:

Sea $A$ sea una matriz invertible. Entonces el determinante de $A^{-1}$ iguales: $$\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1} $$

No sé por dónde empezar con las pruebas. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Pista: Sabes que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ para todos $n\times n$ matrices $A,B$ . Así que elija bien $B$ ...

Answer 2

Explotar la conmutatividad de la operación determinante con la multiplicación es probablemente la forma más fácil. Dicho esto, aquí hay otro enfoque.

El determinante de una matriz cuadrada es igual al producto de sus valores propios.

Obsérvese ahora que para una matriz invertible $\mathbf A$ , $\lambda\in\mathbb R$ es un valor propio de $\mathbf A$ es y sólo si $1/\lambda$ es un valor propio de $\mathbf A^{-1}$ . Para verlo, veamos $\lambda\in\mathbb R$ sea un valor propio de $\mathbf A$  y $\mathbf x$ un vector propio correspondiente. Entonces, \begin{align*} \mathbf A\mathbf x=&\,\lambda\mathbf x\\ \Longrightarrow\qquad{\phantom{\lambda^{-1}}}\mathbf x=&\,\lambda\mathbf A^{-1}\mathbf x\\ \Longrightarrow\qquad\mathbf \lambda^{-1}\mathbf x=&\,\mathbf A^{-1}\mathbf x. \end{align*} Eso es, $\lambda^{-1}$ es un valor propio de $\mathbf A^{-1}$ correspondientes al mismo vector propio $\mathbf x$ . La otra dirección es análoga.

Por lo tanto, el determinante de $\mathbf A^{-1}$ es igual al producto de los valores propios de $\mathbf A^{-1}$ que es el producto de los recíprocos de los valores propios de $\mathbf A$ que no es más que el recíproco del determinante de $\mathbf A$ .

Answer 3

Interpretando el determinante como la relación (con signo) entre el hipervolumen de $f_A(\Gamma)$ y el hipervolumen de $\Gamma$ donde $\Gamma$ es un symplex asociado a la base canónica y $f_A$ es el mapa lineal asociado a $A$ la afirmación es trivial, ya que: $$ \left(f_A\right)^{-1} = f_{A^{-1}}. $$ Esto no es más que la clásica demostración "teórico-medida" del teorema de Binet.