Sea$f$ una función. Si uno encuentra$\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f$ y lo calcula en$x=a$, entonces uno obtiene la tasa de cambio de$f$ en$a$. Eso puede ser útil en algunas situaciones. Pero si uno encuentra$\int f \space \mathrm dx$ y lo calcula en$x=a$, ¿qué información podemos obtener sobre la función$f$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Utilizas la etiqueta indefinida-integral, así que supongo que estás hablando de integrales indefinidos. En ese caso, recuerde que al integrar una función integrable f (x):$\displaystyle \int f \,dx$, obtenemos una familia de funciones :$F(x) + C$, donde$C$ puede ser cualquier constante.
Por lo tanto, no podemos evaluar$F(x) + C$ en$a$ y obtener un valor distinto para$a$, sin saber$C$.
icurays1
Puntos
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Porque antiderivatives sólo son únicas a una constante, la respuesta es: no mucho, ya que la evaluación de la antiderivada puede, de hecho, dar cualquier número (ver @amWhy la respuesta).
Sin embargo, podríamos reinterpretar tu pregunta de la siguiente manera:
Dada una función de $f(x)$, una antiderivada es una función de $F(x)$ tal que $F^\prime(x)=f(x)$. En otras palabras, $F(x)$ es una función que resuelve la ecuación
$$ F^\prime(x)=f(x) $$
Como se mencionó anteriormente, esta ecuación normalmente tiene una infinidad de soluciones - todos variable por una constante. Por ejemplo, considere la posibilidad de
$$ F^\prime(x)=e^x $$ What type of function has derivative $e^x$? Bueno, debe de ser la función exponencial, además de una constante:
$$ F(x)=e^x+C $$ ¿Cómo podríamos restringir esta colección de soluciones? Bien, supongamos que conocía el valor de $F(x)$ a de punto de decir que sabemos $F(0)=1$. Entonces, resulta que solo tenemos una solución para esta ecuación - elegimos la constante de integración, de modo que $F(0)=1$. En nuestro ejemplo, vamos a seleccionar el $C=0$ desde $e^0=1$. Este tipo de proceso es sólo el comienzo de la (vasto y fascinante) el estudio de las Ecuaciones Diferenciales de la determinación de una función a partir del conocimiento de sus derivados.
Entonces, ¿cuál es el significado de, por ejemplo, $F(1)$ en el ejemplo anterior? Sería el valor de una función cuya derivada es $e^x$, y cuyo valor en cero es $1$.
