¿Cuál es el primer componente principal de los puntos que forman un rectángulo "lleno" en el espacio 2D?
¿Es una de las diagonales? ¿O son los dos primeros componentes principales básicamente los lados del rectángulo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Imaginar datos de los puntos de llenado de un rectángulo en 2D en el centro del sistema de coordenadas, con sus lados orientados a lo largo de los ejes de coordenadas: a partir de las $-a$ $a$a lo largo de la $x$-eje, y de $-b$ $b$a lo largo de la $y$-eje.
La proyección en $x$ es una uniforme distribución de la varianza $a^2/3$. La proyección en $y$ es también una distribución uniforme con la varianza $b^2/3$. Desde $x$ $y$ son obviamente no correlacionados (si esto no es obvio, pregúntate a ti mismo si la correlación debería ser positivo o negativo?.. debido a la simetría que sólo puede ser cero), la covarianza entre ellos es cero. Esto da lugar a la matriz de covarianza $$\left(\begin{array}{c}a^2/3&0\\0&b^2/3\end{array}\right).$$ The task of PCA is to diagonalize the covariance matrix. But this one is already diagonal! This means that no rotation is necessary, and $x$-axis and $s$-axis are themselves principal axes. If e.g. $a>b$, then the $$x-axis es el primer PC.
Esto podría ser un poco contra-intuitivo: podría parecer que una proyección de la diagonal debe tener mayor varianza que la proyección en el lado más largo; pero en realidad no es así.
Bonus: Dzhanibekov efecto
Usted parece haber significado un 3D de paralelepípedo rectangular en lugar de 2D rectángulo. Los argumentos de curso de la misma estancia: matriz de covarianza es$3\times 3$, pero todavía diagonal con los ejes principales de ser los ejes de coordenadas.
Por cierto, hay un curioso efecto en el mecánica relativo de rotación de cuerpo sólido con tres diferentes momentos de inercia (que es una mecánica analógica de la varianza). Resulta que las rotaciones alrededor de los ejes con el más grande y el más pequeño momento de inercia son estables, pero la rotación alrededor del eje con la mitad del momento de inercia es inestable. Por otra parte, una rotación del cuerpo va a experimentar de pronto "volteretas", que es conocida como Dzhanibekov efecto, después de un cosmonauta ruso que se observaba en el espacio. Uno puede fácilmente observar que al hacer girar un libro o una raqueta de tenis de mesa. Consulte el siguiente gran hilos en mathoverflow y en la física.SE y estos videos:
