Demostrando $\sigma(n!) < \frac{(n+1)!}{2}$

Question

Demostrar que $\sigma(n!) < \frac{(n+1)!}{2}$ para todos los enteros positivos $n$ donde $n \geq 8$.

$\sigma(n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$.

Mi pensamiento :

$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}$ donde $p_1, p_2, ..., p_m$ son números primos.

$\sigma(n) = \displaystyle\prod_{i=1}^m\left(\frac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1}\right)$

Creo que este problema puede ser resuelto mediante el uso de LTE.

¿Cómo podemos encontrar $\sigma(n!)$ ?

Answer 1

Robin demostrado que $\sigma(n) < e^\gamma n \ln \ln n + n \frac{0.6482...}{\ln \ln n}$ todos los $n\geq 3$.

Por lo $\sigma(n!) < e^\gamma n! \ln \ln n! + n! \frac{0.6482}{\ln \ln n!} < \frac{(n+1)!}{2} = 0.5 n! (n+1)$

Dividir ambos lados por $n!$ conseguir $ e^\gamma \ln \ln n! + \frac{0.6482}{\ln \ln n!} < 0.5 (n+1)$

El uso de la cota superior de la aproximación de Stirling $n! < n^n \sqrt{n} e^{-n} e$

Llegamos a $e^\gamma \log \left(-n+\left(n+\frac{1}{2}\right) \log (n)+1\right) +\frac{0.6482}{\log \left(-n+\left(n+\frac{1}{2}\right) \log (n)+1\right)} < 0.5(n+1)$

Desde $-n+1 <0 $ $2n>(n+0.5) \ln n$ todos los $n\geq 3$ podemos

$ e^{\gamma } \log (2 n)+\frac{0.6482}{\log (2 n)}<0.5 (n+1)$

La solución para $n$ conseguimos que esto es cierto para todos los $n>10.1574 $

Por la simple comprobación de $1$ hasta $10$ llegamos a la conclusión de la prueba.