Deje que $x, y, z$ ser números enteros distintos de cero, de manera que ${x \over y}+{y \over z}+{z \over x}$ es un número entero. Encuentra todos los valores posibles de $x+y+z$ . Por favor, proporcione una prueba con todas las soluciones.
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SAWblade
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Si $x = \frac {z}{4}$ y $y= \frac {z}{2}$ Entonces $ \frac {x}{y}+ \frac {y}{z}+ \frac {z}{x} = \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} + 4 = 5$ . Por lo tanto, siempre que $z = 4t, t \in \mathbb {N}$ el conjunto de soluciones $(x,y,z) = (t,2t,4t)$ satisface, y por lo tanto son infinitas las formas de $x+y+z$ con las limitaciones dadas - especialmente de la forma $7t$ .
Estas no son todas las soluciones, pero es al menos una clase.
EDITORIAL: Haciendo un poco más de trabajo, podemos utilizar este método para ampliar en gran medida la clase de solución. Digamos que $x | z$ y que $ \frac {x}{y} < 1, \frac {y}{z} < 1$ . Por lo tanto, para que la ecuación original sea un número entero, $ \frac {x}{y} + \frac {y}{z} = 1$ . Entonces para algunos $m,n \in \mathbb {N}$ donde $m< n$ , $ \frac {x}{y} = \frac {m}{n}, \frac {y}{z} = \frac {n-m}{n}$ .
Así, $nx = my$ y $ny = (n-m)z$ lo que implica que $y = (1- \frac {m}{n})z$ y que $x = ( \frac {m}{n} - \frac {m^{2}}{n^{2}})z$ . Por lo tanto $x+y+z = ( \frac {m}{n} - \frac {m^{2}}{n^{2}})z + (1- \frac {m}{n})z + z = (2- \frac {m^{2}}{n^{2}})z$ . Set $z = n^{2}t$ y la suma se convierte en $(2n^{2}-m^{2})t$ donde $m,n,t \in \mathbb {N}$ .
Por lo tanto, la solución establecida $(mnt - m^{2}t,n^{2}t-mnt,n^{2}t)$ basta para ampliar enormemente el número de posibles sumas de $x+y+z$ . En resumen, cualquier múltiplo de cualquier entero de la forma $2n^{2} - m^{2}$ donde $m < n$ puede expresarse como una suma de $x,y,$ y $z$ .
IBr
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Nota: esto supone que la pregunta es realmente sobre números enteros distintos de cero y no sobre números enteros positivos. Creo que la respuesta es más difícil cuando se trata de números enteros positivos.
Ahora, podemos obtener cualquier número entero que no sea cero $t$ eligiendo $(x,y,z)=(t,t,-t)$ .
Esto da $ \frac {t}{t} + \frac {t}{-t} + \frac {-t}{t} = -1$ y $x+y+z=t$ .
Ahora supongamos $x+y+z=0$ así que $z=-x-y$ .
Esto da $ \frac {x}{y} - \frac {y}{x+y} - \frac {x+y}{x} \in \mathbb Z$ Por lo tanto $ \frac {x}{y} - \frac {y}{x+y} - \frac {y}{x} \in \mathbb Z$ .
Por lo tanto $ \dfrac {x^2(x+y)-y^2(x+y)-y^2x}{xy(x+y)} \in \mathbb Z$ .
Nótese que tanto el numerador como el denominador son homogéneos de grado 3, por lo que podemos dividir cualquier factor primario común. Así que podemos asumir que $ \gcd (x,y)=1$ . Supongamos que hay un primo $p \mid x+y$ . Tenemos $p \mid x+y \mid y^2x$ . Así que $p \mid x$ o $p \mid y$ y $p \mid x+y$ da eso $p \mid x$ y $p \mid y$ . Contradicción con $ \gcd (x,y)=1$ . Por lo tanto, tenemos $x+y=1$ o $x+y=-1$ .
El primer caso da $ \dfrac {x^2-y^2-y^2x}{xy} \in \mathbb Z$ Por lo tanto $ \dfrac {x^2-y^2}{xy} \in \mathbb Z$ .
El segundo caso da $ \dfrac {-x^2+y^2-y^2x}{xy} \in \mathbb Z$ Por lo tanto $ \dfrac {-x^2+y^2}{xy} \in \mathbb Z$ así que $ \dfrac {x^2-y^2}{xy} \in \mathbb Z$ .
Ahora, si $p \mid x$ Entonces $p \mid y$ en contradicción con $ \gcd (x,y)=1$ . Así que $x= \pm1 $ y análogos $y= \pm1 $ . Pero entonces $x+y$ no puede ser $1$ o $-1$ . Así que no hay soluciones con $x+y+z=0$ .
stackExchangeUser
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Primero hay infinidad de soluciones $x=y=z$ . Deje que $x,y,z$ ser tal que $x/y+y/z+z/x$ es un número entero. Entonces $k= \frac {x^2 z + y^2 x + z^2 y}{xyz} = x/y+y/z+z/x$ es un número entero.
Considere el polinomio: $p(t) = (t-x)(t-y)(t-z) = t^3-a_2 t^2+a_1 t -a_0$
Entonces desde $k a_0 = kxyz = x^2 z + y^2 x + z^2 y$ este polinomio satisface:
1) $x,y,z \in \mathbb {N}$
2) $x^2 z + y^2 x + z^2 y \equiv 0 \mod (a_0)$
Por el contrario, es fácil ver que cada polinomio que satisface 1 y 2 da lugar a una solución.
Por lo tanto, hay una bijección entre todas las soluciones y los polinomios con la propiedad 1 y 2.
