$f\circ f\circ f(x)=x^9$ $f$ es el aumento de

Question

La declaración completa:

Si $f:\Bbb R \to \Bbb R$ es una función continua y $f\circ f\circ f(x)=x^9$ $f$ es cada vez mayor.

$(1)$ Estaba pensando acerca de suponer que $f$ está disminuyendo (o constante) y, a continuación, es fácil obtener una contradicción.

Después de que me gustaría estado que

"Si $f:\Bbb R \to \Bbb R$ es continua y no el aumento de la entonces existe un intervalo donde el $f$ es decreciente o constante."

y entonces puedo usar $(1)$ y obtener el resultado. Pero todavía no puedo probar si la afirmación es verdadera.

Cualquier sugerencia o cualquier otra solución?

Answer 1

Creo que su afirmación es verdadera.

Deje $a,b$ ser puntos, $b>a$, de modo que $f(b) \leq f(a)$. Deje $c$ $x$ valor $f$ alcanza su máximo en el intervalo de $[a,b]$. Claramente $c \neq b$ (o, al menos, podemos tomar $c \neq b$), y por lo tanto para algunos $\epsilon> 0$, $f$ será decreciente o constante en el intervalo: $(c, c + \epsilon)$.