De referencia de la solicitud: Inversiones y $\sum_{w\in W}q^{\ell(w)}$ arbitrarias de grupos de Coxeter

Question

Para el grupo simétrico $S_n$, una inversión de una permutación $\pi∈S_n$ es un par $1\leq i<j\leq n$ tal que $\pi(i)>\pi(j)$. Se sabe que la longitud de la $\ell(\pi)$ de una permutación (es decir, el menor número de simples transposiciones necesarias para expresar $\pi$) coinciden con el número de sus inversiones. Esto es útil para calcular $$\sum_{\pi\in S_n}q^{\ell(\pi)} = (n)_q!$$ ¿Qué sucede si me reemplace $S_n$ por un arbitrario finito Coxeter grupo? Hay todavía una idea para una inversión? Lo que es de dicha suma, en este caso?

Editar Bien, para ser capaz de decir que tengo mis deberes hechos, aquí algunas reflexiones sobre el problema: Una definición general de la inversión número de grupos de Weyl parece ser la siguiente: La inversión número de una palabra $w$ es su número de raíces positivas que se asignan a la negativa de las raíces. Esto sigue siendo igual a su longitud de $\ell(w)$.

Ejemplo: $B_n$ Para este grupo esta parece ser fácil (ya que puede dibujar imágenes en mi cabeza de lo que hace...): es simplemente el grupo $S_n$ con un generador adicional que voltea digamos que el primer signo de una secuencia.

Aparte de permuting elementos, podemos voltear cero a $n$ signos, donde tenemos $n$ posibilidades para el primer signo, $n-1$ para el segundo, etc. Así, por $B_n$, el polinomio debe ser

$$\sum_{w\in B_n}q^{\ell(w)} = (1+nq + (n-1)q^2 + \cdots + q^n)(n)_q!$$

que coincide con el recuento de los elementos de forma explícita (al menos, para $B_2$)

• Hay una mejor manera de expresar este número?
• Hay un general sistemática, por ejemplo, de cómo obtener este de la presentación?
• Hay un listado para otros grupos de Coxeter?

Answer 1

Como usted puede ser consciente de, dado un grupo de Coxeter $W$, la de Poincaré polinomio se define como $$ W(q)=\sum_{n\geq 0}a_nq^n=\sum_{w\W}p^{\ell(w)}, $$ donde $a_n=|\{w\in W:\ell(w)=n\}|$.

Un lugar donde los cálculos de la Poincaré polinomios se puede encontrar en el documento "Una combinatoria derivación de la de Poincaré polinomios de lo finito irreductible grupos de Coxeter" por Rudolf Winkel. Cubre los tipos de $A_n, B_n, D_n$, y el otro excepcional tipos.

Algunos otros resultados básicos acerca de Poincaré polinomios/serie puede encontrarse en las Secciones 1.11 y 5.12 de Humphreys' los Grupos de Reflexión y Grupos de Coxeter.