La secuencia de Fibonacci se define como $f_1=f_2=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$. Suponga que ${f_n \over f_{n-1}} \lt {a \over b} \lt {f_{n+1} \over f_n}$ ($a$ y $b$ son enteros positivos sin factores primos comunes). Mostrar que $b\ge f_{n+1}$.
Respuestas
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Comentario: $\frac{f_{r+1}}{f_{r}}$ son convergents de la continuación de la fracción de $\varphi$ la proporción áurea. Hay un teorema que cualquier convergente está más cerca del número (cuyo CF estamos viendo) que cualquier otro racional con un menor denominador. Eso o algo similar puede ser potencialmente utilizado aquí.
De todos modos, aquí es una simple prueba de que $b \ge f_{n+1}$
En primer lugar mostramos que $b \gt f_n$.
Restar $\frac{f_n}{f_{n-1}}$ a partir de dicha desigualdad para obtener
$$0 \lt \frac{a}{b} - \frac{f_n}{f_{n-1}} \lt \frac{f_{n+1}}{f_n} - \frac{f_n}{f_{n-1}} = \frac{1}{f_nf_{n-1}}$$
Hemos utilizado la identidad de $|f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2| = 1$ (Cassini de la fórmula) para simplificar el lado derecho.
yo.e
$$ 0 \lt \frac{af_{n-1} - bf_n}{b} \lt \frac{1}{f_{n}}$$
Y así
$$ b \gt f_n(af_{n-1} - bf_n)$$
Ahora $af_{n-1} - bf_n$ es un entero positivo y así es $\ge 1$ $b \gt f_{n}$
Ahora nos muestran que la $b \ge f_{n+1}$.
Ahora si $af_{n-1} - bf_n \ge 2$, entonces habremos $b \gt 2 f_n \gt f_n + f_{n-1} = f_{n+1}$.
Así que supongamos que $$af_{n-1} - b f_n = 1$$
Ahora todas las soluciones de $$au + bv = 1$$ están dadas por
$$a_t = a_0 + tv$$ $$b_t = b_0 - tu$$
donde $t$ es un número entero param, y $a_0, b_0$ son algunas de solución inicial.
Para nosotros (de nuevo, con la Cassini) $$a_0 = f_{n+1}$$ $$b_0 = f_n$$ $$u = f_{n-1}$$ $$v = -f_n$$
Por lo tanto las soluciones son $$a_t = f_{n+1} - tf_n$$ $$ b_t = f_n - t f_{n-1}$$
Como queremos $$b_t \gt f_n$$ we need $t \lt 0$ in which case $$b = b_t \ge f_n + f_{n-1} = f_{n+1}$$
user254665
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Supongamos $a,a',a''$ son enteros no negativos y $b,b',b''$ son enteros positivos con $a''b'-b''a'=1$ $\frac {a'}{b'}<\frac {a}{b}<\frac {a''}{b''}.$ $$0<ab'-a'b \quad \text { and }\quad 0<a''b-ab''.$$ Since these are all integers we have $$1\leq ab'-a'b \quad \text { and }\quad 1\leq a''b-ab''.$$ Multiplying the left inequality above by $ b",$ and multiplying the right inequality above by $b'$ we have $$b''\leq b''ab'-b''a'b \quad \text { and }\quad b'\leq b'a''b-b'a'b''.$$ Adding the above two inequalities we have $$b''+b'\leq (b''ab'-b''a'b)+(b'a''b-b'ab'')=b(a''b'-b''a')=b.$$
Desde $f_n^2-f_{n-1}f_{n+1}=(-1)^{n-1},$ si $(a',b')=(f_n,f_{n-1})$ $(a'',b'')=(f_{n+1},f_n)$ e si $\frac {a''}{b''}>\frac {a'}{b'}$, $a''b'-b''a'=1.$
