Para poner un punto en el infinito

Question

En la física, debemos decir que podemos poner puntos en el infinito con el fin de compactify algunos colectores, como compactifying el avión a través de la proyección estereográfica. Pero, con el fin de hacer esto, también tenemos que añadir un punto en el infinito.
A la mapa, al plano a la esfera utilizamos la mencionada proyección. Pero, ¿cómo podemos incluyen, naturalmente, el punto extra en el infinito? Lo hacemos de una manera forzada por la definición de un punto como el punto en el infinito? Si es así, ¿cómo es exactamente?
Por último, puesto que el infinito no es un número (por lo que no puede corresponder a un punto, pero me corrija si me equivoco), ¿cómo podemos asignar un punto a? ¿Cómo podemos intuitivamente pensar en añadir un punto en el infinito?

Gracias.

Answer 1

Topológicamente, la forma de poner un punto en algún lugar en particular, es definir qué conjuntos son sus barrios. Si usted sabe todos los bloques abiertos que contienen un punto, entonces usted saber "donde" el punto es.

Para añadir un punto en el infinito, el truco es decir que nos tocan un punto para el conjunto subyacente y, a continuación, definir su abierta barrios como los complementos de los actuales conjuntos compactos. Este truco captura las intuiciones que queremos tener acerca de "infinito". Piénsalo de esta manera: los exteriores de los más grandes discos con centro en el origen (o en cualquier otro lugar) son más pequeños y más pequeños barrios de infinito. Esta captura la idea de que los conjuntos compactos son apartó desde el infinito.

Si el proyecto del avión sobre una esfera a través de la estereográfica, entonces usted puede ver que los exteriores de tales círculos en realidad mapa más y más pequeños abierta de discos alrededor del punto que falta.

Answer 2

Una manera de hacerlo consiste en considerar al (afín) avión real como la (afín) línea del complejo.

Un punto sobre esta línea es sólo un determinado número complejo $z$. El punto de compactification se obtiene teniendo en cuenta la (afín) plano complejo $\mathbf C^2$. Tenemos un mapa \begin{align}\mathbf A^1(\mathbf C)=\mathbf C&\longrightarrow \mathbf A^2(\mathbf C)=\mathbf C^2\\ z&\longmapsto (z,1)\end{align} Ahora vamos a definir una equivalence relation $\mathbf C^2\smallsetminus\bigl\{(0,0)\bigr\}$: $$(z,u)\sim (z',u')\overset{\text{def}}{\iff}\exists\lambda\in\mathbf C^*, z'=\lambda z, u'=\lambda u.$$ Esto significa que todos los puntos en $\mathbf C^2$, diferente a la de origen, en el complejo subespacio $\langle(z,u)\rangle$ son equivalentes a $(z,u)$.

El proyectiva compleja de la línea de $\;\mathbf P^1(\mathbf C)$ es, por definición, el quotient set $ \bigl(\mathbf C^2\smallsetminus\bigl\{(0,0)\bigr\}\bigr)/\sim$, dotado de la quotient topology. Una muestra $ \mathbf P^1(\mathbf C)$ is a compact space.

A point in $\;\mathbf P^1(\mathbf C)$ is denoted $[z:u]$. El mapa de arriba, compuesto con la canónica mapa \begin{align} \mathbf C^2\smallsetminus\bigl\{(0,0)\bigr\}&\longrightarrow\mathbf P^1(\mathbf C)\\ (z,u)&\longmapsto [z:u] \end{align} se obtiene el mapa \begin{align} \mathbf A^1(\mathbf C)\bigr\}&\longrightarrow\mathbf P^1(\mathbf C)\\ z&\longmapsto [z:1], \end{align} y cualquier (proyectiva) punto de$[z:u]$ such that $u\ne 0$ es la canónica de la imagen de el único punto de $z/u\in \mathbf A^1(\mathbf C)$, ya que el $\;(z,u)\sim (z/u,1)$.

Lo que si $u=0$? Todos los puntos de $(z,0)$ son equivalentes, por lo tanto el rendimiento de un momento único en la $ \mathbf P^1(\mathbf C)$. Nosotros lo llamamos el punto en el infinito de la affine (complejo) de la línea.

Para resumir: $$\mathbf P^1(\mathbf C)=\mathbf A^1(\mathbf C)\cup\{\infty\}.$$

Answer 3

¿Cómo se puede tirar un montón de papel en algunos de unión y conseguir un libro? ¿Cómo lanzar un pescado en un tazón de agua y obtener una pecera? ¿Cómo agregar espresso en algunas de leche caliente y obtener un café con leche?

La cosa que tirar no tiene nada que ver con el original de la colección. En todos los. Y no está tratando de interpretar lo que añadió que de alguna manera "el mismo" que el de la colección, que originalmente estaba allí. Pero la cosa de echar en la colección crea una nueva cosa que consigue su propio nombre nuevo.

El "punto en el infinito" es la unión, el pescado, el café espresso. El "punto de compactification" es el libro, la pecera, el café con leche.

Answer 4

Basado en sus comentarios, creo que puedo identificar algunos aspectos que podrían ser de interés para usted.

Como fue mencionado varias veces, la construcción es simple: escoge un punto de $p$ no en el múltiple de admisión, y definir sus barrios, como complemento de conjuntos compactos. El espacio resultante $\widetilde{M}=M \cup \{p\}$ con la topología generada por este proceso se llama uno de los puntos de compactification de $M$ (o Alexandroff compactification).

Este es un proceso general en un sentido: se puede probar que funciona cómodamente en cualquier localmente compacto Hausdorff topológica de un espacio que no es compacto. Sin embargo, hay un problema: puede resultar en algo que es no un colector, incluso si su espacio original era de un colector.

Por lo tanto, su búsqueda para buscar las coordenadas de este compactification en los comentarios pueden ser en vano.

Por ejemplo, considere dos abiertos disjuntos intervalos como el colector $M$. El punto de compactification de ese espacio es homeomórficos a una figura de ocho, que no es un colector. Usted puede pensar que esto es simplemente un artefacto de $M$ no está conectado, pero no lo es: tome $M$ abierto del cilindro. El punto de compactification de es homeomórficos a un cuerno de toro, que no es también un colector.