¿Si continuamente está disminuyendo $f(x)$ $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, $xf(x)$ uniformemente continuo?

Question

Supongamos $f:[0, \infty) \to [0, \infty)$ es decreciente y continua con $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$. Deje $g(x) = xf(x)$. Es $g(x)$ uniformemente continua en a $[0, \infty)$?

Mi trabajo: yo he sido capaz de llegar hasta con un contraejemplo donde $g(x)$ no es Lipschitz. Desde Lipschitz es más fuerte que el uniforme de continuidad, esto no es una solución completa, pero sin embargo las ideas que pueden ser útiles. Dicho esto, no puede ser un muy simple contraejemplo que la eludir mí.

En primer lugar, recordemos que hay funciones continuas $h:[0, \infty) \to [0, \infty)$ tal que $$\limsup_{x \to +\infty} \ h(x) = +\infty$$ but $\int_0^{+\infty} h(x) \ dx < +\infty$

Aquí está un breve construcción: por entero $n \geq 1$, en cada intervalo de $[n, n+\frac{2^{1-n}}{n}]$ la gráfica de $h$ se parece a un triángulo isósceles de área $2^{-n}$ y la altura de la $n$. En otros lugares $h(x) = 0$. Es fácil ver que la integral de $h$$\mathbb{R}_+$$1$, pero su $\lim \sup$$+\infty$.

Ahora considere que $$f(x) = 1 - \int_0^{x} h(t) \ dt$$

es continua (en realidad diferenciable), disminuyendo y desapareciendo a $+\infty$.

Si tenemos en cuenta $g(x) = xf(x)$, ten en cuenta que $g'(x) = xf'(x) + f(x) = f(x) - xh(x)$. $f(x)$ está delimitado y $|xh(x)|$ puede hacerse arbitrariamente grande, y por lo tanto, $|g'|$ puede hacerse arbitrariamente grande, así que no hay uniforme obligado en $\left|\frac{g(x) - g(y)}{x-y}\right|$. Esto implica $g$ no es Lipschitz. Este ejemplo puede o no puede ser uniformemente continua, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Elegir una secuencia estrictamente creciente de números enteros $0=a_0<a_1<\cdots$. Ahora definir $f$ como sigue. Si $a_k\leq x\leq a_{k+1}-1$ $k$ y $f(x)=2^{-k}$; en el intervalo $[a_{k+1}-1,a_{k+1}]$ la función es lineal.

Ahora en el intervalo $(a_{k+1}-1,a_{k+1})$ $g(x)$ es diferenciable con derivada en parte $2^{-k}-2^{-k-1}(a_{k+1}-1)$; llamar a este límite $b_k$. Si elegimos $a_k$ aumento suficientemente rápido, $b_k\to-\infty$. $x_k$ En medio de este intervalo y cualquier dado $\varepsilon>0$ necesitamos $\delta\leq\varepsilon/|b_k|$, así que no fija $\delta>0$ funciona así.

Answer 2

Que $a_n=\frac{\ln(1)}{n^{1/2}}$ y $b_n=\sum_{k=2}^n (\ln(k))^{-1}$ $n>3$. Que $f(b_n)=a_n$ y $f$ tienen un gráfico de línea recta entre $b_n$y $b_{n+1}$. Entonces f se define en $[c,\infty)$ $c>0$ y $f(x+c)$ tiene las propiedades deseadas.