¿Por qué representamos números complejos como la suma de las partes real e imaginarias?

Question

Sabemos que los números complejos tienen un real y una parte imaginaria. Podemos visualizar la parte imaginaria mediante la adición de otro eje, por lo tanto, un avión para ambas partes.

Mi pregunta es muy simple pero puede ser inusual.

¿Por qué es el signo más utilizado para representar un número complejo? $z=a+bi$. Es sólo históricamente común utilizar el signo más, o ¿realmente hacer operaciones aritméticas utilizando el signo? Porqué no puede ser representada por una coma, por ejemplo, como un vector?

$z=a+bi$ frente a $z=a,bi$

Estoy muy curioso de saber si $a+bi$ es una manera de indicar si las partes real e imaginaria son conectados o si se trata de una expresión matemática.

Answer 1

El conjunto de los números complejos tiene más estructuras que ser un conjunto. Una de las estructuras más importantes es que el ${\bf C}$ es un campo, lo que significa que uno puede hacer la multiplicación y la división. Es muy conveniente realizar estas dos operaciones con números complejos se representan como la forma $a+bi$ en lugar de $(a,b)$ (o la peor forma de $(a,bi)$), el último de los cuales sería bastante engorroso.

Por otro lado, ${\bf C}$ es un espacio vectorial sobre ${\bf R}$ de la dimensión de $2$. Si uno sólo se preocupa por el (verdadero) espacio vectorial estructura de ${\bf C}$, se puede identificar a $a+bi\in{\bf C}$ $(a,b)\in{\bf R}^2$ sin sacrificar la claridad.

---

[Añadido más tarde.] Uno de sus comentarios más arriba:

Ese fue exactamente el punto de mi pregunta. Parafraseando, es el plus-símbolo que representa la adición o no?

sugiere que sería útil volver a la definición de los números complejos. Una concreta y directa forma de hacerlo es teniendo en cuenta el conjunto $$ {\bf C}:=\{a+bi\mediados de los a,b\in{\bf R}\}. $$ En este punto, el signo "$+$" y el símbolo "$i$" no significa nada y, de igual modo, $bi$ no quiere decir $b$ veces $i$. Uno puede ver ${\bf C}$ ${\bf R}^2$ en esta definición.

El agregado ($+_{\bf C}$), resta ($-_{\bf C}$), y la multiplicación de operaciones($\cdot_{\bf C}$) puede ser escrito de forma explícita en estas coordenadas

$$ (a+bi) +_{\bf C} (c+di) = (a+_{\bf R}c) + (b+_{\bf R}d)i \tag{1}$$

$$ (a+bi) -_{\bf C} (c+di) = (a-_{\bf R}c) + (b-_{\bf R}d)i \tag{2}$$

$$ (a+bi)\cdot_{\bf C} (c+di) = (ac-_{\bf R}bd) + (ad+_{\bf R}bc)i\tag{3}$$

Tenga en cuenta que hay tres tipos diferentes de operaciones aquí

• El conocido operaciones para ${\bf R}$: $+_{\bf R}$, $-_{\bf R}$, $\cdot_{\bf R}$ (escribimos $a\cdot_{\bf R}b$ $ab$ anterior);
• Las operaciones que hemos definido para ${\bf C}$: $+_{\bf C}$, $-_{\bf C}$, $\cdot_{\bf C}$;
• La formal símbolo $+$ en la definición del conjunto de ${\bf C}$.

Vamos a demostrar más tarde que todas estas operaciones son compatibles.

Uno puede comprobar que ${\bf C}$ junto con las operaciones $+_{\bf C}$, $\cdot_{\bf C}$ los formularios de campo. Además se identifican $a\in{\bf R}$ $a+0i$ , de modo que ${\bf R}$ se convierte en un subconjunto de a ${\bf C}$. Y escribimos $0+bi$$bi$$0+1i$$i$. Una vez que tenemos esto, podemos comprobar que para cualquier $a,b\in{\bf R}$: $$ a+_{\bf C}[b\cdot_{\bf C}i]=(a+0i)+_{\bf C}[(b+0i)\cdot_{\bf C}(0+1i)] =(a+0i)+_{\bf C} (0+bi)=a+bi $$ lo que da un significado de la expresión formal $a+bi$.

Answer 2

Yo no creo que responde a tu pregunta, pero aquí es un divertido consideración. Supongo que me vio en una pieza en algunas viejo problema de la "Kvant" de la revista (revista de ciencia popular en la física y las matemáticas, bastante famoso en la Unión Soviética; ver https://en.wikipedia.org/wiki/Kvant_(revista)). Más tarde me enteré de que la idea de esta pieza fue echado a los autores por I. M. Gelfand.

La regla de la suma de las fracciones es demasiado complicado. Un perezoso alumno no le gusta, así que trata de hacerlo de la manera más sencilla: $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}.$$

El problema es que entonces uno pierde la distributividad de la multiplicación. Después de un poco de jugar con las fórmulas de la perezoso alumno encuentra una buena manera de multiplicate ellos:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac - bd}{ac + bd}.$$

Yo creo que no hay necesidad de explicar lo que sucede a continuación. Entonces él comienza a investigar las propiedades de la resultante estructura algebraica, y que en mi opinión este es uno de los más emocionantes de la introducción a los números complejos que he visto nunca.

Answer 3

Utilizamos el signo + porque $i$ es sólo otro número, y realmente estamos agregando el imaginario y real de todas las piezas juntas. Sin embargo, a diferencia de "$1 + 2$" donde tenemos una bonita ordenado forma alternativa de escribir el resultado, "$3$", con "$1 + 2i$", no es más conveniente la expresión, así que dejamos como $1 + 2i$.

Y $1,2i$ es definitivamente un lugar menos conveniente expresión de $1 + 2i$. Un ejemplo sencillo, es obvio que $3(1 + 2i)$ debe $3\cdot 1 + 3\cdot 2i = 3 + 6i$. Esto es sólo la distributividad de la multiplicación sobre la adición. Pero si usas $3(1,2i)$, entonces usted también tiene que establecer que la multiplicación también distribuye más de ",". Si "," es sólo va a significar la misma cosa como el "+" ya lo hace, ¿por qué necesitamos introducir y nuevas reglas para ir con ella?

Usted puede haber tenido números complejos introducidos a usted como pares ordenados (esta es la forma en que fueron presentados a mí), pero este no es realmente el caso. Los pares ordenados de proporcionar un modelo para los números complejos - es decir, un conjunto concreto con las operaciones que se comportan exactamente igual que los números complejos se debe. Pero es más conveniente, y más intuitiva, a considerar los números complejos de manera más abstracta - pensar en ellos como "¿qué haría usted, si usted agregar un nuevo número $i$ a los reales con la propiedad de que $i^2 = -1$", sin tratar de definir la estructura interna de $i$. Todo lo que se necesita es que es un objeto que no es cualquiera de los números Reales. Si a continuación, insisten en que debe ser añadibles a y multiplicable por los números reales, y la demanda que todas las reglas normales de la multiplicación y la adición todavía se mantienen, el complejo completo de los números es lo que usted consigue.

Históricamente, esta es la forma de los números complejos fueron desarrollados por primera vez. Se introdujeron en el siglo 16 para resolver ecuaciones cúbicas. Tales ecuaciones se sabe que siempre tiene al menos una solución, pero que la solución no siempre podría ser encontrado. Un conocido método para la solución de algunas cúbicas involucrados, primero de la resolución de una cuadráticas relacionadas, a continuación, tomar el cubo de las raíces de las dos soluciones y sumándolas para llegar a una solución a la cúbico. Sin embargo, el método falló cuando el discriminante de la ecuación cuadrática fue negativo.

Un hombre llamado Scipione del Ferro decidió fingir que la cuadrática con discriminante negativo tenido soluciones de todos modos. Suponiendo que estos números falsos todavía se comportaba como todos los demás, él procedió con el resto del método anterior, y descubrió que la adición de las dos raíces cúbicas causado los números falsos para cancelar, dejando un "real", sólo el número. Ese número se confirmó que en realidad hizo resolver el original cúbicos. Una vez que este llegó a ser conocido (una intrigante poco de historia de participación de las matemáticas duelos y promesas rotas) la gente aceptó que si estos "imaginario" de los números de alguna manera para producir resultados útiles, deben existir, después de todo.

Answer 4

Un montón de cosas que se han dicho en los comentarios ya, pero permítanme tratar de poner las cosas en contexto:

Los números complejos se definen de manera que se comportan como usted esperaría que las expresiones algebraicas de la forma $a+ib$ a comportarse, por ejemplo, bajo la adición y la multiplicación (por lo que tienen la asociatividad, conmutatividad, distributividad..) con la adición de que usted entonces tiene que definir cuál es el producto de dos números imaginarios, que se realiza a través de la definición de $i^2 = - 1$.

Que, en principio, podría inventar un nuevo símbolo para denotar los números complejos, pero la notación "+" tiene un montón de ventajas, en lo que es intuitiva (como se señaló anteriormente) y puede ser considerado como un vector de valores de instrucción. Así que usted puede escribir $a + ib = a\cdot 1 + b \cdot i$ y considerar los símbolos $1$ $i$ como los dos vectores $(1,0)$$(0,1)$, por lo que añade otra dimensión a la línea real de obtener el plano complejo. Así como un conjunto, son indistinguibles de $\mathbb{R}^{2}$.

Como Jack, que era más rápido que yo, señaló, los números complejos tienen mucho más la estructura de un conjunto. Ellos son, por ejemplo, un espacio vectorial sobre el campo de los números reales, $\mathbb{R}$, ya que las combinaciones lineales con coeficientes reales de los números complejos son, de nuevo, complejo. Si usted lo considera como un espacio de este tipo, en realidad son isomorfo a (y, por tanto, indistinguible de) $\mathbb{R}^{2}$.

Los números complejos pueden ser consideradas también como un espacio métrico (y, por tanto, de un espacio topológico) si se define como su métrica de la función de distancia en el plano complejo, es decir, $$ d(z_{1}, z_{2}) := | z_{1} - z_{2} |. $$ Entonces, incluso como un espacio métrico, que son indistinguibles de $\mathbb{R}^{2}$ (con la métrica Euclidiana). Esto significa que usted tiene el mismo tipo de bloques abiertos, la misma noción de convergencia (es decir, lo que significa que una secuencia $(z_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ a converger a un límite de $z$) etc.

Incluso hay más estructuras presentes aquí, por ejemplo, $\mathbb{C}$ es también una normativa espacio (porque su métrica es en realidad define a través de una norma).

Pero lo más importante, y esto es lo que hace a $\mathbb{C}$ tan especial y que lo diferencia de $\mathbb{R}^{2}$: son un campo. Así que usted no sólo puede añadir números complejos (como usted puede con cualquier vectores), pero también se puede multiplicar ellos de una manera natural. Y esta multiplicación muy tiene consecuencias de largo alcance. Es, por ejemplo, la razón, ¿por qué el complejo de la diferenciabilidad es mucho más fuerte que el total de la diferenciabilidad en $\mathbb{R}^{2}$.

Así que lo que yo - y otros - quiero decir es que, para muchos efectos prácticos, es muy conveniente (y justificado) a considerar la posibilidad de un número complejo como la suma de una parte real y la parte imaginaria, como si fueran las componentes de un vector bidimensional. Pero los números complejos son mucho más que sólo los vectores, que es lo que los hace tan especiales y tan interesante.

Espero que ayude!

Answer 5

Yo comparo el signo como un medio para distinguir a diferencia de los términos. Si uno fuera a escribir 2 + 3 en vez de 2 + 3i, la primera se simplifica a 5, pero el segundo no.

Mi preferencia es el uso de pares ordenados (x, y) para los elementos de C, pero, a continuación, a explicar el acceso directo de la notación x + yi o x + iy. Específicamente, se aprovecha de nuestro conocimiento de la aritmética y el álgebra con números reales, y en particular cómo se multiplican.

Por lo tanto, mi respuesta es que el signo que distingue a los llamados partes real e imaginaria de cada uno de los otros. Creo que los pares ordenados hacerlo de la mejor manera, pero uno debe, a continuación, agregue en el x + yi para tomar ventaja de la familiaridad.