local mostrando que un diagrama conmuta

Question

Al mostrar un diagrama (familia natural) de $R$-álgebra de todos los anillos $R$ conmuta, ¿por qué basta con mostrar que conmuta todos $R$ local con algebraico cerrado campo de residuos?

Mi idea: reducir a anillos locales (fpqc pendiente), luego a estrictamente henselian de anillos (henselisation estricta es fielmente plano).

¿Es esto correcto?

Answer 1

Usted no necesita nada tan elegante ni tan duro como el general fpqc descenso teorema (o incluso de los afín caso, que es más fácil), pero sólo a los hechos básicos acerca de la fidelidad mapas planos. Así que lo primero de todo es que es bastante bien conocida y fácil de probar (es decir, a partir de la definición) que dos mapas de $R$-módulos son iguales iff la base de cambios en las localizaciones $R_{\mathfrak{p}}$ $\mathfrak{p}$ prime son iguales, para cada prime $\mathfrak{p}$. Esta es la razón por la que usted puede reducir al caso de un anillo local.

La parte más interesante de tu pregunta es por qué se puede reducir al caso en que el residuo de campo es algebraicamente cerrado. Aquí cito un lexema de EGA $0_{III}$:

Lema: Vamos a $(R, \mathfrak{m})$ ser un noetherian anillo local con residuo de campo $k$, y deje $K$ ser una extensión de $k$. Entonces existe un piso, local noetherian $R$-álgebra $R'$ tal que $\mathfrak{m} R' $ es el ideal maximal de a $R'$ y de tal manera que el residuo de campo es $K$.

Si $R$ no se asume noetherian, a continuación, $R'$ no serán asumidos noetherian, pero el argumento de que todavía funciona. En realidad, no es difícil si usted se olvida de noetherianness, así que permítanme esbozar. Escribimos $K$ como inductivo (por un ordinal cuya cardinalidad es generalmente grandes) colimit de torres de extensiones generado por un elemento. Por inducción transfinita (como colimit de plano las cosas es plana), se reduce al caso en que $K$ es generado por un elemento más de $k$, dicen algunos de los $\alpha$. Si $\alpha$ es trascendental, entonces podemos tomar $R' = (R[t])_{\mathfrak{m} R[t]}$. Si $\alpha$ es algebraica, satisfacer algunas de monic polinomio $\overline{P} \in k[X]$ que eleva a $P \in R[X]$, luego deje $R' = R[X]/P$. Uno puede comprobar que esto funciona (la máxima ideales de $R'$ están en correspondencia con los de $R[X]/P \otimes_R k$ por Nakayama, y esto último es claramente un campo.) En cualquiera de estos casos, es fácil comprobar que $R'$ plano (incluso de forma gratuita en el segundo caso).

OK. Así que si $R'$ es plano sobre a $R$ (que se supone local como en el anterior, en la situación del párrafo anterior), a continuación, $R'$ es fielmente plano, porque estamos trabajando con locales de los anillos. Así que si $M \rightrightarrows N$ son dos mapas de $R$-módulos, que son iguales si y sólo si $M \otimes_{R} R' \rightrightarrows N \otimes_R R'$. De ello se deduce que si queremos probar algo acerca de la conmutatividad de los diagramas de $R$-módulos, podemos reducir a probar algo acerca de $R'$-módulos.

Ahora, como he explicado anteriormente, cualquier anillo local admite un plano local homomorphism en un anillo local cuyo residuo de campo es algebraicamente cerrado. Así que si quieres probar algún tipo de conmutatividad para local de los anillos, se puede reducir al caso en que el residuo de campo es algebraicamente cerrado. Y, como he explicado al principio, si quieres demostrar algo acerca de los desplazamientos de los diagramas de módulos sobre un anillo, usted puede reducir al caso de los locales de los anillos.