¿Por qué tiene nombre la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Question

Cuando el otro día me topé con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, me pareció muy raro que fuera algo propio, y que tuviera líneas y líneas de prueba .

Siempre he pensado que la definición geométrica de la multiplicación de puntos: $$|{\bf a }||{\bf b }|\cos \theta$$ es equivalente a la otra definición algebraica: $$a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+\cdots+a_n\cdot b_n$$ Y como la desigualdad está directamente implicada por la definición geométrica (el hecho de que $\cos(\theta)$ es $1$ sólo cuando $\bf a$ y $\bf b$ son colineales), entonces ¿no debería ser la desigualdad de Cauchy-Schwarz más obvia del mundo y casi sin necesidad de prueba?

¿Puede alguien corregirme en qué se equivocó mi proceso de pensamiento?

Answer 1

Nota al margen: en realidad es la desigualdad Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky, y no dejes que nadie te diga lo contrario.

El problema de utilizar la definición geométrica es que hay que definir qué es un ángulo. Claro, en el espacio tridimensional, tienes ideas bastante claras sobre lo que es un ángulo, pero ¿qué tomas como $\theta$ en su ecuación cuando $i$ y $j$ son $10$ ¿vectores dimensionales? ¿O vectores de dimensión infinita? ¿Y si $i$ y $j$ son polinomios?

La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice que en cualquier momento se tiene un espacio vectorial y un producto interior definido en él, se puede estar seguro de que para dos vectores cualesquiera $u,v$ en su espacio, es cierto que $\left|\langle u,v\rangle\right| \leq \|u\|\|v\|$ .

No todos los espacios vectoriales son simples $\mathbb R^n$ negocios, tampoco. Se tiene el espacio vectorial de todas las funciones continuas sobre $[0,1]$ por ejemplo. Se puede definir el producto interior como

$$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)dx$$

y utilizar Cauchy-Schwarz para demostrar que para cualquier par $f,g$ , usted tiene $$\left|\int_{0}^1f(x)g(x)dx\right| \leq \sqrt{\int_0^1 f^2(x)dx\int_0^1g^2(x)dx}$$

que no es una desigualdad trivial.

Answer 2

1. La desigualdad es omnipresente, por lo que se necesita algún nombre.

2. Como no hay coseno en el enunciado de la desigualdad, no puede llamarse "desigualdad del coseno" ni nada parecido.

3. La interpretación geométrica con cosenos sólo funciona para el espacio real euclidiano de dimensión finita, pero la desigualdad se mantiene y se utiliza de forma más general. Esta es la contribución de Schwarz.

4. Schwarz fundó el campo de análisis funcional (álgebra lineal metrizada de dimensión infinita) con su demostración de la desigualdad. Esto es lo suficientemente importante como para justificar un nombre. En términos de consecuencias por línea de prueba es uno de los mayores argumentos de todos los tiempos.

5. La prueba de Schwarz formó parte de la comprensión histórica de que la geometría euclidiana, con su misteriosa medida de ángulos que parece depender de las nociones de longitud de arco del cálculo, es la teoría de un espacio vectorial dotado de una forma cuadrática. Eso es un cambio importante en el punto de vista.

6. La afirmación de la desigualdad en términos de cosenos supone que el producto interior se restringe al euclidiano estándar en el subespacio de 2 (o menos) dimensiones que abarcan los dos vectores, y que has demostrado que la desigualdad se mantiene para el espacio euclidiano estándar de 2 dimensiones o menos. ¿Cómo sabes que esas cosas son correctas sin un argumento mucho más largo? Ese argumento, probablemente, incluirá en alguna parte una prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tal vez escrita para 2 dimensiones pero que funciona para todo el $n$ -espacio dimensional, por lo que también se podría plantear como una prueba directa para $n$ dimensiones. Que es lo que hicieron Cauchy y Schwarz.

Answer 3

Cauchy-Schwarz no es sólo eso. El resultado que has enunciado es sólo un caso especial de Cauchy-Schwarz en espacios euclidianos. Pero sigue siendo válido en cualquier espacio de producto interno, dotado de cualquier producto interno. La demostración sigue siendo fácil, pero nadie dijo que la demostración tuviera que ser larga y difícil para darle un nombre. El hecho es que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es muy útil en muchas aplicaciones, desde la geometría hasta la teoría de la probabilidad, y por eso merece la pena tener su propio nombre.

Answer 4

En definitiva, merece un nombre, porque es lo suficientemente importante como para dedicar un libro completo a esta desigualdad: La clase magistral de Cauchy-Schwarz. Una introducción al arte de las desigualdades matemáticas , 2004, J. M. Steele.

En primer lugar, e históricamente, la desigualdad surgió progresivamente en tres cuerpos de trabajos, uno de ellos con sumas finitas, los otros con fórmulas integrales, en una y dos dimensiones, donde la noción de coseno podría ser menos evidente (en aquel entonces). En la página 10 de este libro, un vistazo a la historia:

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) publicó su famosa desigualdad en 1821 en la segunda de las dos notas sobre la teoría de las desigualdades que que formaban la parte final de su libro Cours d'Analyse Algébrique

Esta ligadura [en forma de integrales] apareció por primera vez impresa en un Mémoire de Victor Yacovlevich Bunyakovsky que fue publicado por la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo en 1859.

En particular, no parece haber sido conocido en Göttingen en 1885, cuando Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) se dedicaba a su trabajo fundamental sobre la teoría de las superficies mínimas [con una] necesidad de un análogo integral bidimensional de la desigualdad de Cauchy.

A menudo, los objetos reciben un nombre posterior, como reconocimiento a las obras anteriores.

He descubierto el libro recientemente, y creo que merece atención, por las muchas implicaciones de esta desigualdad, trucos interesantes y razonamientos sutiles. Por ejemplo, el libro ofrece una demostración inductiva en dimensiones finitas, que considera novedosa. Hay unos cuantos libros sobre "desigualdades", no tantos sobre una sola de ellas, sobre todo si se considera básica. Porque esta desigualdad es paradigmática. El texto:

está diseñado para guiar a los lectores hacia el dominio de las desigualdades matemáticas.

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se utiliza de forma sistemática para abrirse a la geometría de los cuadrados, la convexidad, la escalera de potencias, la mayorización, la Schur convexidad, sumas exponenciales y las desigualdades de Hölder, Hilbert y Hardy...

Answer 5

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede enunciar y demostrar como resultado algebraico más general (es decir, independiente de los espacios vectoriales) que puede aplicarse a las componentes de los vectores en los espacios de producto interior.

Dice que dadas dos secuencias finitas de $n$ números $(a_i)_{i=1, n}$ y $(b_i)_{i=1, n}$ entonces $|\sum_{i=1,n} a_i.b_i| \le (\sum_{i=1,n} |a_i|^2)^{1/2}.(\sum_{i=1,n} |b_i|^2)^{1/2}$

Ver aquí https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/ch13.pdf (número de referencia de la página.293) para una demostración para números reales que es muy fácil de generalizar a los números complejos.